НУЖНО СЕГОДНЯ Дано куб ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 1. Точки М і К є серединами
ребер АD і СD відповідно. Побудуйте переріз цього кубу, який проходить
через точки М, К і B1, та з’ясуйте, якою геометричною фігурою є цей переріз
(довести). Знайдіть його площу S.

Відповідь:

Пояснення:

   Побудова переріза .  1) Проведемо пряму МК .

         2) Позначимо точки  R = (MK)∩ (AB)   i   F =  (MK)∩ (BC) .

         3) Проведемо пряму B₁R :  точка  L = B₁R ∩ AA₁ .

         4)  Проведемо пряму  FB₁ :  точка  N = FB₁ ∩ CC₁ .

   П'ятикутник B₁LMKN - шуканий переріз куба даною площиною .

   Його площу можна знайти за Теоремою про площу

   ортогональної проєкції многокутника . У мене  cosα = 12/√17 , a

   S B₁LMKN = 7√17/96 .

если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.

известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь : )) 

l^2 = a*b - x*y;

здесь l = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.

из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому

l^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть

c^2 = (a + b)^2*(1 - l^2/(a*b));

вычисления с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)

поскольку найдены все три стороны, в принципе уже решена. но вычисления по формуле герона в данном случае слишком громоздки. проще найти угол напротив стороны с.

по теореме косинусов (обозначено t = cos(c))

с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;

t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

подстановка значений дает t = - 7/25; (угол с тупой) 

отсюда sin(c) = 24/25;

площадь s = a*b*sin(c)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2

больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. увы -   не вышло. может, кто-то сообразит?