Урівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює - 72 градусів, а бісектриса цього кута має довжину l. знайдіть довжини сторін трикутника.

находим третий угол 180-144=36. пусть a b и c вершины, m -точка пересечения

биссектрисы с bc.

bma=180-72=108.

amc=180-36-72=72=mca

ac=am=l

ab=(l/2)/cos72=l/2cos(90-18)=l/2sin18

этот треугольник интересно устроен - в нем основание равно биссектрисе угла при основании, и еще им равен отрезок от вершины (противоположной основанию) до точки пересечения этой биссектрисы с боковой стороной. 

то, что у так построенного треугольника угол при основании равен 72 градуса, а угол при вершине 36, показать легко. поскольку биссектриса делит треугольник на 2 равнобедренных, то получается, что угол при вершине равен половине угла при основании - этого уже достаточно, поскольку (если ф - угол при вершине) ф + 2*ф + 2*ф = 5*ф = 180; откуда ф   = 36.

итак, известно, что основание a равно l, и что биссектриса делит боковую сторону b на отрезки, равные l и b - l, причем по свойству биссектрисы

l/(b - l) = b/l; или (обозначим x = b/l)

x^2 - x   - 1 =0;   x = (√5 + 1)/2; отрицательный корень отброшен

ответ a = l; b = l*(√5 + 1)/2;

если внимательно посмотреть на гошино решение, можно понять, почему этот треугольник можно считать "замечательным" : sin(18) =  (√5 + 1)/4;