Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы f (x) = 2x – ln x

f(x) = 2x – ln x

одз: х> 0

f'(x) = 2 – 1/x

f'(x) = 0

2 – 1/x = 0

2х = 1

х = 0,5

разбиваем область определения функции f(x) на интервалы и определяем знак производной f'(x) в этих интервалах

            -                                      +

0 0,5

f'(0,25) = 2-1/0,25 = 2-4 = -2    f'(x)< 0    ⇒   f(x)  убывает

f'(1) = 2-1/1 = 2-1 = 1   f'(x)> 0    ⇒   f(x)  возрастает

итак, при х∈(0; 0,5]  f(x)  убывает

                при х ∈[ 0,5; +∞) f(x) возрастает

в точке х = 0,5 производная меняет знак с - на + , следовательно, это точка минимума.

уmin = у(0,5) = 2·0,5 – ln 0,5  ≈ 1 - 0,693  ≈ 0,307

при x∈(0,1/2) f'(x)< 0  ⇒  функция убывает

при x∈(1/2,∞) f'(x)> 0 ⇒ функция возрастает

в точке 1/2 находится  минимум

Функция y=cosx убывающая на промежутке от 0°до 90°, поэтому мЕньшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции.