Найдите функцию y(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
и такую что y(1)=1
В ответе укажите значение найденной Вами функции в точке

4

Объяснение:

Проверим, является ли левая часть полным дифференциалом некоторой функции u(x, y). Пусть P = x²y² + y, Q = 2x³y - x. Левая часть является полным дифференциалом, если :

Левая часть не является полным дифференциалом. Подберём интегрирующий множитель такой, чтобы при домножении на него обеих частей уравнения выполнялось равенство , то есть левая часть стала полным дифференциалом. Так как мы ищем функцию от x, при дифференцировании по y мы считаем её, как константу:

При домножении на t получаем:

Это уравнение в полных дифференциалах. Подберём функцию u(x, y) такую, что . Из определения дифференциала функции двух переменных следует, что — частная производная по x. Тогда , где — константа, зависящая от y (поскольку функция была от двух переменных, а проинтегрировали мы только по x). Также из определения дифференциала:

Тогда , решение уравнения:

При x = 1, y = 1 получаем C = 0. Выразим y через x:

В точке значение функции равно 4.

a_4=a_4+d(9-4)=a_4+5d=110

90+5d=110

5d=20

d=4