На прямой расположены по порядку точки A, B, C так, что AB = 2, BC = 1. Точка X движется по этой прямой в одном направлении. Сколько раз во время этого движения расстояние от точки X до одной из точек A, B, C будет равно сумме расстояний от точки X до двух других?

продлим медианы так, чтобы: bd = do, b1d1  = d1o1. в δado и δdbc: ad = dc (из условия) bd = do (по построению) ∠ado = ∠bdc (как вертикальные).

таким образом, δado = δbdc по 1-му признаку равенства треугольников; откуда ао = вс как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠aod = ∠dbc.

аналогично δa1d1o1  = δd1b1o1  и а1о1  = в1с1, ∠a1o1d1  = ∠d1в1с1.

т.к. вс = в1с1, то ао = а1о1. в δаов и δа1о1в1: ав = а1в1  (из условия), ао = а1о1  (по построению), во = в1о1  (по построению),

таким образом, δаво = δа1в1о1  по 3-му признаку равенства треугольников. откуда

∠a1b1c1  = ∠a1b1d1  + ∠d1b1c1, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны.

следовательно ∠авс = ∠а1в1с1.

в δabc и δa1в1с1:

∠авс = ∠а1в1с1, ав = а1в1, вс = в1с1  (из условия).

таким образом, δавс = δа1в1с1  по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.