50 !

через точку пересечения диагоналей о квадрата аbсd проведён перпендикуляр ом. докажите, что расстояния от точки м до вершин квадрата равны.

Управильного треугольника все стороны равны и каждый из углов равен 60 градусов. центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрисс. обозначим треугольник авс, проведём биссектриссу угла а - ае и биссектриссу угла в - вд. они пересекутся в точке о. биссектриссы правильного треугольника являются его высотами и медианами, значит од - медиана и высота и треугольник аод - прямоугольный, сторона которого ад=1/2ас=17√3/2. угол оад=60: 2=30 градусов, а катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, т.е. од (это радиус вписанной окружности) = 1/2ао. обозначим од - х, тогда ао=2х. по теореме пифагора:   ао²=од²+ад²   (2х)²=х²+(17√3/2)²   4х²=х²+867/4   3х²=867/4   х²=289/4   х=17/2=8,5. значит радиус вписанной окружности =8,5.