Восновании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании β. все боковые грани образуют с основанием угол φ. найти площадь полной поверхности пирамиды.

при желании можно разбить треугольник abc на два прямоугольных треугольника akb и akc. но в результате формулы будут все равно тождественны. действительно,

ak = ab sin  ß = b sin  β bk = ab cos  β = b cos  β sabk = ak * bk / 2 = b2sin  β cos  β / 2

откуда sabс =   2sabk =   b2sin β cos β  (примем за искомую площадь основания, далее справочно к той же формуле, которая указана по ссылке выше)

если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β   или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α)   =  1/2 b2sin α

теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. при этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку о основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. откуда высота боковой грани пирамиды равна: h = r / sin  φ

длину радиуса вписанной окружности найдем как r = s/p

учитывая, что bc = 2bk, то bc = 2b cos  β откуда p = ( b + b + 2b cos  β ) / 2 p = ( 2b + 2b cos  β ) / 2 p = 2b ( 1 + cos  β ) / 2 p = b ( 1 + cos  β )

таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен r = s / p r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos  β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos  β )

теперь определим высоту боковых граней пирамиды. зная, что l / r = cos φ, то l = r cos φ

тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: s1 = lb / 2 s1 = r cos φ * b / 2 s1 = b sin β cos β / ( 1 + cos  β ) cos φ * b / 2 s1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos  β ) cos φ / 2 s1 = b2 sin β cos β  cos φ / ( 2 ( 1 + cos  β ) )

площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: s2 = bc * l / 2 s2 = 2b cos  β *  r cos φ / 2 s2 = b cos  β * r cos φ s2 = b cos  β * b sin β cos β / ( 1 + cos  β ) * cos φ s2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos  β )

площадь боковой поверхности пирамиды равна: sбок = 2s1 + s2 sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos  β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos  β ) sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos  β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos  β ) sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos  β ) sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1  + cos β ) / ( 1 + cos  β ) sбок = b2 sin β cos β cos φ

откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: s = sбок + sосн s = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos  β )

диагональ делит прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника. т.к. по теореме: катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, следует, что гипотенуза (диагональ в данном случае будет) больше катета cd в 2 раза: 4*2=8. ac=bd = 8 см