Восновании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании β. все боковые грани образуют с основанием угол φ. найти площадь полной поверхности пирамиды.

127

169

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

носок455

Геометрия

4,5(99 оценок)

при желании можно разбить треугольник abc на два прямоугольных треугольника akb и akc. но в результате формулы будут все равно тождественны. действительно,

ak = ab sin ß = b sin β bk = ab cos β = b cos β sabk = ak * bk / 2 = b2sin β cos β / 2

откуда sabс = 2sabk = b2sin β cos β (примем за искомую площадь основания, далее справочно к той же формуле, которая указана по ссылке выше)

если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α) = 1/2 b2sin α

теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. при этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку о основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. откуда высота боковой грани пирамиды равна: h = r / sin φ

длину радиуса вписанной окружности найдем как r = s/p

учитывая, что bc = 2bk, то bc = 2b cos β откуда p = ( b + b + 2b cos β ) / 2 p = ( 2b + 2b cos β ) / 2 p = 2b ( 1 + cos β ) / 2 p = b ( 1 + cos β )

таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен r = s / p r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )

теперь определим высоту боковых граней пирамиды. зная, что l / r = cos φ, то l = r cos φ

тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: s1 = lb / 2 s1 = r cos φ * b / 2 s1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2 s1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2 s1 = b2 sin β cos β cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )

площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: s2 = bc * l / 2 s2 = 2b cos β * r cos φ / 2 s2 = b cos β * r cos φ s2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ s2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )

площадь боковой поверхности пирамиды равна: sбок = 2s1 + s2 sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β ) sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1 + cos β ) / ( 1 + cos β ) sбок = b2 sin β cos β cos φ

откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: s = sбок + sосн s = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )

Айнұра

Геометрия

4,7(89 оценок)

диагональ делит прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника. т.к. по теореме: катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, следует, что гипотенуза (диагональ в данном случае будет) больше катета cd в 2 раза: 4*2=8. ac=bd = 8 см

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.