Найдите наименьшее значения произведения p=cosx*cosy*cos(x+y)

Рассмторим треугольник  ,   положим что он существует  впишем углы    по теореме косинусов выразим углы        то есть надо найти такое число , если оно существует , что     является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби .    теперь     по неравенству о средних         то есть получим  , причем выполняется тогда когда 

Преобразуем функцию: p=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)= 1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x)) возьмем   производную   по   x и   приравняем   к нулю: -1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0 sin(2x+2y)+sin2x=0 sin(2x+y)*siny=0 очевидно   что   минимум   будет когда: sin(2x+y)=0 2x+y=π*n y=π*n-2x (тк   функция симметричная то рассматривать   производную по у не   имеет смысла) это   минимум функции при   произвольно взятой   константе y. то   чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при   разных y. и   так   подставляя   наш результат в исходную функцию   применив формулы   получим: p=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))= 1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)= 1/2*(cos^2(2x)+cos(2x)) пусть : сos(2x)=w |w|< =1 p=1/2*(w^2+w) w^2+w-парабола   с вершина   wв=-1/2   |w|< 1 (верно)   значит   в этой   точке и будет минимум   тк ветви идут вверх. откуда: min(p)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8 ответ: -1/8

1.  x≥3/2     x+1> 2x-3-2   x< 6     3/2≤x< 6 2. -1≤x≤3/2 x+1> 3-2x-2   x> 0 0< x≤3/2 3.x≤-1 -x-1=3-2x-2   x> 2 не может быть из условия 3. ответ 0< x< 6