Ось симметрии прямоугольника abcd пересекает его стороны bc и ad в точках m и k соответственно.на стороне ab взята точка p,на стороне cd-точка t,причём pm||kt,pm=pk.a)определите вид выпуклого четырёхугольника pmtk.б)докажите что расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника pmtk до точки c равно pk.

  мк - ось симметрии, ⇒ все точки ав и сd находятся от неё на равном расстоянии. вм=см=ак=dk.

а) диагонали   прямоугольника ас=вd     и точкой пересечения о делятся пополам ( свойство диагоналей прямоугольника).

отрезки   вм=ак, а рм=рк по условию⇒   ∆ мвр = ∆ кар   по катету и гипотенузе.   вр=ар, а ∆ мрк - равнобедренный, мо=ок. в ∆ авс. отрезок рм - средняя линия и параллелен диагонали ас. в ∆ асd ак=кd, кт║рм по условию. если одна из двух   параллельных прямых параллельна третьей, то и вторая ей параллельна. ⇒   кт║ас – средняя линия ∆ adc. кт=ас: 2=рм.   так как   кт - средняя линия ∆ асd, то, точка т - середина сd, из чего следует мт - средняя линия ∆ всd.   мт и рк равны половине вd, следовательно, равны между собой. стороны четырехугольника крмт равны, следовательно, рмтк - ромб.

б) вершины рмтк - середины сторон прямоугольника, его диагонали рт и мк пересекаются под прямым углом и делят исходный прямоугольник на четыре равных меньшего размера. диагонали этих меньших прямоугольников равны. ⇒ рк=ао=ос, что и требовалось доказать.

Угол между прямой и плоскостью измеряется между этой прямой и её проекцией на плоскость. примем сторону куба за 1. тогда дв1 - это диагональ куба, равная 1*√3 =  √3. проекция её - дс1 - диагональ грани =  √2. тогда косинус угла равен (3+2-1) / (2*√3*√2) = 2/√6 =  0.8164966.а угол равен arc cos  0.8164966 =  0.6154797 радиан = 35.26439°.