Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция, площадь которой равна 5. найти площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

Пусть трапеция abcd; ab = cd; пусть точки касания ab с окружностью m, bc - k; cd - n; ad - p; надо найти площадь дельтоида mknp; центр окружности пусть o. площадь трапеции s = 5 = p*r; r = 1; поэтому p = 5;   поскольку суммы противоположных сторон равны, ab + cd = 2*ab = p   = 5; ab = 5/2; (средняя линия (ad + bc)/2 тоже равна p/2, то есть равна боковой стороне. в решении это не пригождается, но полезно знать : ) ) треугольник aob - прямоугольный, его гипотенуза ab = 5/2; высота равна om = r = 1; треугольник kmp тоже прямоугольный, так как kp - диаметр.  ∠oab = 90° -   ∠moa; то есть  ∠moa =  ∠abo; ∠moa  = (1/2)*∠mop =  ∠mkp; получилось  ∠abo =  ∠mkp;   то есть прямоугольные треугольники aob и  mkp подобны.  гипотенуза треугольника mkp kp = 2*r = 2; поэтому высота к гипотенузе равна om*(kp/ab) = 4/5; само собой, это половина mn, то есть mn = 8/5; площадь mnkp равна половине произведения диагоналей, то есть kp*mn/2 = 2*(8/5)/2 = 8/5;

Арине алты болады соны да блмейсізба