Внутри треугольника abc выбрана точка м. как построить отрезок с концами на сторонах треугольника авс так, чтобы точка м была его серединой?

Немного другая : ). внутри угла c вершиной в точке a  выбрана точка m, надо построить отрезок с концами на сторонах угла, так, чтобы точка m была бы его серединой. отличие этой в том, что 1) концы отрезка могут быть на продолжении сторон 2) у треугольника три угла. я отвечаю на поставленный вопрос. то есть описываю процесс построения. все действия легко осуществляются с циркуля и линейки. 1) проводится биссектриса угла. 2) из точки m проводится перпендикуляр к биссектрисе. он пересекает стороны угла в точках k и n. 3) из точек k и n проводятся перпендикуляры к сторонам угла, которые пересекаются на биссектрисе угла в точке o (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках k и  n)  4) соединяются точки o и  m. 5) через точку m проводится прямая, перпендикулярная отрезку om, пересекающая стороны угла в точках p и  q. pq и есть нужный отрезок, точка m является его серединой. доказывается это так.  ∠pko =  ∠pmo = 90 °;   поэтому точки k и  m лежат на окружности, построенной на po, как на диаметре.  в этой окружности  ∠mpo и  ∠mko опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. аналогично,  ∠qmo =  ∠qno = 90°;   поэтому точки n и  m лежат на окружности, построенной на qo, как на диаметре.  в этой окружности  ∠mqo и  ∠mno опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. так как треугольник okn равнобедренный,  ∠mko =  ∠mno; поэтому  ∠mpo =  ∠mqo, и треугольник pqo тоже равнобедренный.  om - высота к основанию этого треугольника pqo. то есть, его медиана. чтд.

Если радиус основания 3 см, то диаметр основания 3  · 2 = 6см, получаем прямоугольный треугольник, диагональ является гипотенузой, найдем по теореме пифагора d^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100, отсюда диагональ d = 10см