Сторона ромба 6√3 см а острый угол равен 60°. найти длину диагонали ромба и радиус окружности вписанной в ромб

рассмотрим треугольники на которые ромб делится диагоналями.

против угла в 30° катет равный половине стороны. диагональ в 2 раза длинее.

d=6√3см, второй катет d/2=√(6√3)²-(3√3)² =  √108-27=√81=9 cм

d = 18 cм

для определения радиуса вписанной окружности найдем высоту маленького треугольника через его площадь

s =  √p(p-a)(р-b)(p-c), где р - полупериметр   p=(9+3√3+6√3)/2 = 4,5+4,5√3

s=√(4,5+4,5√3)(4,5+4,5√3-3√3)(4,5+4,5√3-6√3)(4,5+4,5√3-9)=√(4,5+4,5√3)(4,5+1,5√3)(4,5-1,5√,5+4,5√3) =  √(60,75-20,25)(20,25-6,75) =√40,5*13,5 =√546,75

так как диагональ ромба делит угол пополам то угол, состовляющий часть угла 60 градусов раен 30 градусов. в этом треугольнике гипотенуза равна 6 sqrt(3). а соторона против 30 градусов равна половине гипотенузы то есть 3sqrt(3). значит диагональ равен 6sqrt(3)(можно было заметить что треугольник с углом 60 градусов теперь найдем вторую диагональ d. по теореме пифагора d= корень(108-27)=корень(81)=9. значит диагональ равен 18.

по формуле r=d1d2/4a=9*6корень(3)/24корень(3)=9/4=2,25