Вправильный октаэдр вписан куб так, что вершинами куба являются центры граней октаэдра. сторона октаэдра равна корень из 18. найдите объём куба.

не то, что было бы трудно сосчитать, "как человек". я в конце приложу "детский" расчет. а пока вот - что. размещу-ка я координатные оси таким образом, чтобы центр координат был в центре октаэдра, а вершины его - в симметричных точках на осях. "легче простого" убедиться в том, что координаты этого тетраэдра будут такие

(0,0,3) (0,0,-3) (0,3,0) (0,-3,0) (0,0,3) (0,0,-3).

можете убедится, что любое ребро такого октаэдра равно  √18 = 3*√2; (ну, соедините точку на оси x, x = 3, с точкой на оси y, y = 3, получится равнобедренный прямоугольный тр-к с катетом 3, и гипотенузой 3*√2, и так - все ребра).

а теперь найдем координаты вершин куба. рассмотрим "положительный" октант, то есть ту восьмую часть пространства, где x> 0,y> 0,z> 0. уравнение плоскости грани легко записать в виде x + y + z = 3, при этом центр этого треугольника имеет одинаковые координаты по всем осям, то есть лежит на прямой x = y = z;

поэтому координаты вершины куба (1,1,1). ну, и сразу ясно, какие будут координаты вершин куба в остальных октантах

(1,1,1)  (-1,1,1) (1,-1,,-1,1)(1,1,-1)  (-1,1,-1) (1,-1,-,-1,-1). очевидно, что ребро куба равно 2, а объем равен 8. при этом объем октаэдра равен

8*(3/3)*(3*3)/2 = 36.

теперь "детское" решение. 

сечение, перпендикулярное большой диагонали октаэдра, представляет собой квадрат со стороной 3*√2. диагональ такого квадрата равна 6, а сторона квадрата, соединяющего середины сторон этого сечения, равна 3. вершина куба лежит на апофеме, на расстоянии, на 1/3 апофемы ближе к вершине грани,чем середина основания, поэтому сторона куба равна 2/3 от стороны квадрата, соединяющего середины сторон построненного сечения. то есть равна 2, а объем 8.

a =  √18

диагональ стороны куба равна средней линии гpани октаэдра   d=(√18)/2

через ребро куба d = b√2 = (√18)/2,   b = 1,5

объем куба   v = b³ = 1,5³ = 27/8 = 3  3/8 

площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту