Вколо радиуса 10см вписано ривносторонний трикутникю знайти його площу.

надо найти связь между радиусом описанной вокруг правильного треугольника окружности и его стороной. 

радиус описанной окружности равен расстоянию от точки пересечения медиан-биссектрис-высот до вершин, то есть 2/3 от высоты, а высота равна стороне, умноженной на  √3/2 (то есть на синус 60 градусов). поэтому сторона a равна

a = r*√3;  

(то же самое получится, если просто записать теорему синусов 2*r*sin(60) = a)

итак, высота равна r*3/2 = 15; сторона 10*√3; отсюда площадь 15*10*√3/2 =  75*√3;

известно, что сторону  а вписанного правильного тр-ка и радиус r окружности, в которую этот тр-к вписан, связывает следующее отношение:

а = r·√3

a = 10√3.

полупериметр треугольника  р = (а + а + а): 2 = 1,5 а

по формуле герона площадь тр-ка:

s = √(p·(p-a)(p - a)(p - a) =

    = √(1,5a·0,5a·0,5a·0,5a) =

      = 0,25a²√3

подставим a = 10√3 и получим:

s = 0,25·100·3√3 = 75√3(см²)