Впирамиде аbcd: ab=1,ac=3,ad=4,bc=корень из10,bd= корень из 17,cd=5. найти радиус шара,вписанного в пирамиду.

надо найти радиус шара, вписанного в пирамиду, ограниченную плоскостями, заданными следующими уравнениями в обычной ортогональной системе координат (x,y,z):

плоскости x = 0, y = 0, z = 0 (это просто плоскости, построенные на координатных осях - плоскости xy, yz, xz) и

плоскость 12*x + 4*y - 3*z = 12;

пояснения. вершина а соответствует началу координат, точка b лежит на оси x и имеет координаты (1,0,0), точка с лежит на оси y и имеет координаты (0,3,0), точка d лежит на оси z и имеет координаты (0,0,4). такая привязка пирамиды к ортогональной системе координат возможна потому, что треугольники cad, bad и abc прямоугольные, это легко проверить по теореме пифагора. угол а - это "прямой трехгранный угол", то есть все три прямые ав, ас и ad взаимно перпендикулярны.

плоскость  12*x + 4*y + 3*z = 12 соответствует плоскости dbc и проходит через точки b(1,0,0) c(0,3,0) d(0,0,4), что легко проверить непосредственно (напомню, что три точки плоскость однозначно).

уравнение плоскости легко к векторному виду nr = 12/13; где единичный  вектор n  = (12/13, 4/13, 3/13); ini = 1; а вектор r - это радиус-вектор точки плоскости, то есть попросту вектор (x,y,z), где x,y,z - коодинаты любойточки плоскости. вектор n - нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен плоскости. 

с другой стороны, центр шара, вписанный в эту пирамиду, должен быть равноудален от граней трехгранного угла, поэтому он лежит на прямой x = y = z;

или, что то же самое, радиус-вектор центра r  имеет координаты (a,a,a), где a - радиус вписанного шара (я использую букву а, чтобы не было путаницы, где что). 

при этом расстояние от центра до плоскости dbc  тоже равно а. из этого следует вот что - если провести перпендикуляр из центра на плоскость, и этот отрезок рассматривать, как вектор (с модулем а) с началом в центре и с концом на плоскости, то этот вектор можно записать в виде n*a, поскольку вектор n  перпендикулярен плоскости dcb и по модулю равен 1.

конечная точка вектора принадлежит плоскости (это точка касания шара и плоскости dcb). запишем это в векторном виде.

r + n*a = r; где r - радиус-вектор   точки касания. 

я представил радиус-вектор точки касания в виде суммы двух векторов - радиус-вектора центра шара и вектора из центра шара в точку касания (все  

поскольку точка касания лежит на плоскости, она подчинаяется уравнению плоскости. чтобы этим воспользоваться, умножим скалярно обе стороны этого векторного равенства на n. получим

rn + a = nr = 12/13.

rn = (12/13 + 4/13 + 3/13)*a = (19/13)*a; и получается элементарное соотношение

19*а + 13*а = 12;

радиус шара a = 3/8.

есть и такой способ - я соединяю центр шара с вершинами и считаю объем пирамиды как сумму объемов получившихся четырех пирамид, в которых радиус шара является высотой. я получаю простую формулу, аналогичную известной формуле площади треугольника. пусть v - объем пирамиды, s - площадь всех поверхности, а - радиус шара. тогда

v = s*a/3;

площади трех граней пирамиды легко считаются

sabc = 3*1/2 = 32; sabd = 4*1/2 = 2; sacd = 4*3/2 = 6;  

четвертая грань - это треугольник bcd со сторонами √17,  √10 и 5; если есть большое желание, можно вычислить его площадь по герону. но есть более просто способ. 

я провожу в этом треугольнике высоту из точки в к стороне cd = 5 и получаю два прямоугольных треугольника. если высота h, а сторона cd делится на отрезки x и 5 - x, то

x^2 + h^2 = 17;

(5 - x)^2 + h^2 = 10;

x = 16/5; h = 13/5;

sbcd = 13/2;

окончательно получается 

v = 1*3*4/6 = 2; s = 13/2 + 2 + 6 + 3/2 = 16;

a*16/3 = 2;

a = 3/8;

если угол bak =60,то углы kba и bka тоже 60 градусов   и следовательно треуг.bak равнобедренный и следовательно bk =ba=cd=ak=14. если bk парал.   cd то bckd трапеция и следовательно bc= kd и следовательно 20-14=6 это bc и kd и следовательно рabcd= 20+6=26