Впирамиде аbcd: ab=1,ac=3,ad=4,bc=корень из10,bd= корень из 17,cd=5. найти радиус шара,вписанного в пирамиду.
Ответы на вопрос:
надо найти радиус шара, вписанного в пирамиду, ограниченную плоскостями, заданными следующими уравнениями в обычной ортогональной системе координат (x,y,z):
плоскости x = 0, y = 0, z = 0 (это просто плоскости, построенные на координатных осях - плоскости xy, yz, xz) и
плоскость 12*x + 4*y - 3*z = 12;
пояснения. вершина а соответствует началу координат, точка b лежит на оси x и имеет координаты (1,0,0), точка с лежит на оси y и имеет координаты (0,3,0), точка d лежит на оси z и имеет координаты (0,0,4). такая привязка пирамиды к ортогональной системе координат возможна потому, что треугольники cad, bad и abc прямоугольные, это легко проверить по теореме пифагора. угол а - это "прямой трехгранный угол", то есть все три прямые ав, ас и ad взаимно перпендикулярны.
плоскость 12*x + 4*y + 3*z = 12 соответствует плоскости dbc и проходит через точки b(1,0,0) c(0,3,0) d(0,0,4), что легко проверить непосредственно (напомню, что три точки плоскость однозначно).
уравнение плоскости легко к векторному виду nr = 12/13; где единичный вектор n = (12/13, 4/13, 3/13); ini = 1; а вектор r - это радиус-вектор точки плоскости, то есть попросту вектор (x,y,z), где x,y,z - коодинаты любойточки плоскости. вектор n - нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен плоскости.
с другой стороны, центр шара, вписанный в эту пирамиду, должен быть равноудален от граней трехгранного угла, поэтому он лежит на прямой x = y = z;
или, что то же самое, радиус-вектор центра r имеет координаты (a,a,a), где a - радиус вписанного шара (я использую букву а, чтобы не было путаницы, где что).
при этом расстояние от центра до плоскости dbc тоже равно а. из этого следует вот что - если провести перпендикуляр из центра на плоскость, и этот отрезок рассматривать, как вектор (с модулем а) с началом в центре и с концом на плоскости, то этот вектор можно записать в виде n*a, поскольку вектор n перпендикулярен плоскости dcb и по модулю равен 1.
конечная точка вектора принадлежит плоскости (это точка касания шара и плоскости dcb). запишем это в векторном виде.
r + n*a = r; где r - радиус-вектор точки касания.
я представил радиус-вектор точки касания в виде суммы двух векторов - радиус-вектора центра шара и вектора из центра шара в точку касания (все
поскольку точка касания лежит на плоскости, она подчинаяется уравнению плоскости. чтобы этим воспользоваться, умножим скалярно обе стороны этого векторного равенства на n. получим
rn + a = nr = 12/13.
rn = (12/13 + 4/13 + 3/13)*a = (19/13)*a; и получается элементарное соотношение
19*а + 13*а = 12;
радиус шара a = 3/8.
есть и такой способ - я соединяю центр шара с вершинами и считаю объем пирамиды как сумму объемов получившихся четырех пирамид, в которых радиус шара является высотой. я получаю простую формулу, аналогичную известной формуле площади треугольника. пусть v - объем пирамиды, s - площадь всех поверхности, а - радиус шара. тогда
v = s*a/3;
площади трех граней пирамиды легко считаются
sabc = 3*1/2 = 32; sabd = 4*1/2 = 2; sacd = 4*3/2 = 6;
четвертая грань - это треугольник bcd со сторонами √17, √10 и 5; если есть большое желание, можно вычислить его площадь по герону. но есть более просто способ.
я провожу в этом треугольнике высоту из точки в к стороне cd = 5 и получаю два прямоугольных треугольника. если высота h, а сторона cd делится на отрезки x и 5 - x, то
x^2 + h^2 = 17;
(5 - x)^2 + h^2 = 10;
x = 16/5; h = 13/5;
sbcd = 13/2;
окончательно получается
v = 1*3*4/6 = 2; s = 13/2 + 2 + 6 + 3/2 = 16;
a*16/3 = 2;
a = 3/8;
если угол bak =60,то углы kba и bka тоже 60 градусов и следовательно треуг.bak равнобедренный и следовательно bk =ba=cd=ak=14. если bk парал. cd то bckd трапеция и следовательно bc= kd и следовательно 20-14=6 это bc и kd и следовательно рabcd= 20+6=26
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Геометрия
-
Макароныпофлотски03.03.2022 12:32
-
annmir090630.03.2021 00:01
-
vikakocherzhuk30.03.2020 05:40
-
senan5227.10.2022 14:16
-
майя15513.03.2020 15:28
-
Зефирка17050424.07.2020 03:41
-
nick12120122.11.2021 22:03
-
яна75714.10.2020 19:07
-
лиза269919.07.2020 05:33
-
borisowskyleff21.11.2020 23:02
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.