Із трикутника,основа якого дорівнює 120см,а висота- 60см,потрібно вірізати прямокутник так,щоб дві його сторони лежали на основі трикутника,а дві інші - на бічних сторонах. який периметр матиме прямокутник, якщо його
площа повинна дорівнювати -17,5 дм в квадраті

во-первых, не могут 2 стороны лежать на основании, это две вершины могут лежать на основании а две других - на боковых сторонах.

во-вторых, будем все мерять в дециметрах - так нулей меньше и единицы измерения одни и те же : ))

основание треугольника а = 12 (дециметров), высота к этой стороне h = 6;

стороны прямоугольника обозначим x и y. сторона y параллельна основанию треугольника а. ясно, что эта сторона y отсекает от исходного треугольника ему подобный, у которого основание y, а высота h - x. ясно, что в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, поэтому

y/a = (h - x)/h = 1 - x/h;

площадь прямоугольника s = 17,5 (кв. дм);

s = x*y;

введем новую переменную z = x/h; легко видеть, что y = a*(1 - z);

z*(1 - z) = s/(a*h); то есть z^2 - z + s/(a*h) = 0; это простое квадратное уравнение.

z = 1/2 +-  √(1/4 -  s/(a*h)) = (1/2)*(1 +- √(1 - 4*s/(a*;

ясно видно, что есть два решения, если под корнем положительная величина, конечно, в это так, 

1 - 4*s/(a*h) = 1/36 = (1/6)^2;

поэтому z1 = 5/12; z2 = 7/12; периметр 2*(x + y) легко вычислятеся.

но я поступлю иначе - обозначу для краткости записи  √(1 - 4*s/(a*h)) = u; тогда

z = (1/2)*(1 +- u); x =  (1/2)*(1 +- u)*h; y =  (1/2)*(1 -+ u)*а; (если x "с минусом", то y "с плюсом")

периметр р =  (1 +- u)*h + (1 -+ u)*а = (a + h) +- (a - h)*u;

окончательно

p = (a + h) +- (a - h)*√(1 - 4*s/(a*h));

это получился ответ в общем виде : вычислим теперь значения. 

u = 1/6; (уже вычисляли : ))

p = (12 + 6) +- (12 - 6)/6 = 18 +- 1;

то есть в два решения p1 = 19 дециметров, p2 = 17 дециметров.

 

 

из треугольника, основание которого равно 120см, а высота-60см, нужно вырезать прямоугольник так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. какой периметр будет у прямоугольника, если его площадь должна быть равна -17,5 дм в квадрате.

стороны прямоугольника а и в, площадь прямоугольника s = a*b

из подобия треугольников a/120=(60-b)/60

60a=7200-120b

a = 120-2b

a*b = 1750

(120-2b)*b=1750

2b²-120b+1750=0

b²-60b+875=0

по теореме виета

b1=25cм

b2=35см

а1=120-50=70см

а2=120-70=50см

p₁=2(25+70)=190см

p₂=2(35+50)=170см

Вторая боковая сторона равна 10, так как треугольник равнобедренный. далее, в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой, в нашем случае медианой. поэтому 64: 2=8.  далее, высота прямоугольного треугольника есть среднее между проекциями катетов на гипотенузу. получается высота равна квадратный корень из произведения 8*8 получается 64. квадратный корень из 64 является 8. высота равна 8.