Точка пересечения высот треугольника

обозначения ac = b; ab = c; bc = a; bb1 = z; bc1 = x; ba1 = y; a1c1 = p; a1b1 = n; b1c1 = m;

угол abb1 = угол b1bc = b/2 = 60°; поэтому косинусы этих углов равны 1/2;

угол abc = b = 120°, его косинус равен -1/2. 

(немного теории - на всякий случай)

площадь треугольника abb1 равна z*c*sin(b/2)/2; площадь треугольника вв1с равна z*a*sin(b/2)/2; поэтому

c*a*sin(b)/2 =  z*c*sin(b/2)/2 +z*a*sin(b/2)/2;  

откуда z = 2*a*c*cos(b/2)/(a + c)

(это - известная формула для длины биссектрисы).

при в = 120°; z = a*c/(a + c);

из известного свойства биссектрисы внутреннего угла x = c*a/(b+a); y = a*c/(b+c);

далее, из теоремы косинусов для треугольников bc1b1, bb1a1 и bc1a1

m^2 = x^2 + z^2 - x*z;

n^2 = y^2 + z^2 - y*z;

p^2 = x^2 + y^2 + x*y;  

поэтому 

m^2 + n^2 - p^2 = 2*z^2 - x*y - x*z - y*z;

это равно

2*(a*c/(a + b))^2 - (a*c)^2/((b + c)*(b + a)) -  (a*c)^2/((a + c)*(b + a)) -  (a*c)^2/((a + c)*(b + c));

если вынести множитель (a*c)^2/((a+c)^2*(b + c)*(b + a)) "за скобки", то в скобках останется

2*(b + c)*(b + a) -  (a + c)^2 - (a + c)*(b + c) - (a + c)*(a + b) =

(половина первого слагаемого комбинируется с третьим, другая половина - с четвертым слагаемым)

= (b + c)*(b + a - c - a) + (b + a)*(b + c - c - a) - (a + c)^2 = b^2 - c^2 + b^2 - a^2 - a^2 - c^2 - 2*a*c = 2*(b^2 - (a^2 + c^2 + a*с)) = 0; по теореме косинусов для треугольника авс.

поэтому m^2 + n^2 = p^2, то есть а1в1с1 - прямоугольный треугольник, угол а1в1с1 = 90°,  ч.т.д