Срешением, решить уравнение: cos2x+sin^2x=0,75 найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2] .

cos2x+sin²x = 0,75

cos²x - sin²x + sin²x = 0.75

cos²x = 0.75

cosx = ±√0.75 = ±0.5√3

1) cosx = -0.5√3

x₁ = 5π/6 + 2πn

x₂ = -5π/6 + 2πn

n =1 x₁ = (2 + 5/6) π                 x∉[π; 5π/2]   

            x₂ = (2- 5/6) π = 7π/6            x∈[π; 5π/2]   

n =2 x₁ = (4 + 5/6) π                 x∉[π; 5π/2]   

            x₂ = (4- 5/6) π                                  x∉[π; 5π/2]     

 

2) cosx = 0.5√3

x₁ = π/6 + 2πn

x₂ = -π/6 + 2πn

n =1 x₁ = (2 + 1/6) π = 13π/6      x∈[π; 5π/2]   

            x₂ = (2 - 1/6) π = 11π/6          x∈[π; 5π/2]   

n =2 x₁ = (4 + 1/6) π                   x∉[π; 5π/2]   

            x₂ = (4- 1/6) π                                      x∉[π; 5π/2]

ответ:   x = 7π/6;   11π/6;     13π/6

начнем с того, что cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)   и 0.75=3/4

 

видим, что можно сократить sin^2(x), что и проделаем

получаем  

 

получаем:

отсюда, где n пренадлежит z (множеству целых чисел)

т.е.  

поскольку рассматриваем только отрезок [π ; 5π/2], то берем только n при которых решение будет лежать в данном отрезке.

решим 2 уравнения, с которого найдем удовлетворяющие нас n,

 

1 уравнение будет иметь вид:

   

т.к n является целым числом, нужно округлить получившийся результат до целого числа, округление производится в большую сторону, т.к. это начало отрезка, получаем n=2

  2 уравнение будет иметь вид:

 

здесь округляем в меньшую сторону, т.к это конец отрезка и получаем n=4.

 

ответ:   где n=2,3,4

11/2*(4 11/18-2 1/2)+3 5/18=14 8/9 1)4 11/18 - 2 1/2(*9)=4 11/18 - 2 9/18=2 2/18=2 1/9 2)11/2*2 1/9=11/2*19/9=209/18=11 11/18 3)11 11/18+3 5/18=14 16/18=14 8/9 (3/4+5/6)*3(2) + (5/6-3/4)*4=171/12+4/12=175/12=14 7/12 1)3/4(*3)+5/6(*2)=9/12+10/12=19/12 2)3(2)=3*3=9 3)19/12*9 =19/12*9/1=171/12 4)5/6(*2)-3/4(*3)=10/12-9/12=1/12 5)1/12*4=1/12*4/1=4/12 (2 3/5+1 5/7)*17-(2 1/2-3/8)*4=2567/35-17/2=64 59/70 1)2 3/5(*7)+1 5/7(*5)=2 21/35+1 25/35=3 46/35= 4 11/35 2)4 11/35*17=151/35*17/1=2567/35 3)2 1/2(*4)-3/8=2 4/8 -3/8=2 1/8 4)2 1/8*4=17/8*4/1=17/2 5)2567/35(*2)-17/2(*35)=5134/70-595/70=4539/70=64 59/70 *-это умножение сверху