Исследовать функции f(x)=x3−1

1. найти области определения и значений данной функции f.

2. выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической.

3. вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка x=0 для функции f(x)=1/x и при больших (по модулю) значениях аргумента.

ответ: дана функция: f(x)=x³−1.

1.область определения и значений данной функции f: ограничений нет - x  ∈ r.

2.выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f:  

а) четной или нечетной: f(-x) = -x³−1  ≠ f(x).

                                          f(-x) = -(x³+1)  ≠ -f(x).

значит, функция не чётная и не нечётная.

б) периодической: функция не периодическая.

3.вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

с осью оу при х =0: у = 0³ - 1 = -1.

с осью ох при у = 0: 0 = х³ - 1,  х³ = 1,  х =  ∛1 = 1.

4.найти промежутки знакопостоянства функции f.

находим производную: y' = 3x².

так как производная положительна на всей области определения, то функция только возрастающая.

5.выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает: в соответствии с пунктом 4  функция возрастает от -∞ до +∞.

6.найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

приравниваем производную нулю; 3х² = 0, х = 0.

имеем 2 промежутка монотонности функции

на промежутках находят знаки производной. где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

производная  y' = 3x² только положительна.

так как производная не имеет промежутков смены знака, значит, функция не имеет ни минимума, ни максимума.

7.исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента: таких точек нет

пошаговое объяснение: вроде как-то так