Найти общее решение дифференциального уравнения: y''-2y'+5y=cos(7x)

y''-2y+5y=0

k^2-2k+5=0

уравнение имеет комплексные корни

k1=1+2i

k2=1-2i

общее решение.(cм. в частности пискунов дифференциальное и интегральное исчисление т.2) там же есть решение подобного уравнения

y=e^x(c1cos2x+c2sin2x)

y1=e^x*cos2x      y1'=e^x*cos2x-2*e^x*sin2x

y2=e^x*sin2x      y2'=e^xsin2x+2e^xcos2x

решаешь систему

с1'y1+c2'y2=0

c1'y1'+c2'y2'=cos7x

находишь с1 и с2 как функции от x.

cумма частного решения и ощеггорешения однородного уравнения и есть окончательный ответ.

итак получается ответ

  y(x) = exp(x)*sin(2*x)*_c2+exp(x)*cos(2*x)*_c1-(11/533)*cos(7*/1066)*sin(7*x)

второй член отличается от первого в 8 раз, то есть знаменатель прогрессии равен корню кубическому из 8 или 2. то есть, если начать с 5 получится, что первые пять членов: 5, 10, 20, 40, 80, а их сумма 155 (простым сложением). или по формуле суммы первых n членов:

s = 5*(2^5-1)/(2-1) = =5*(32-1)/1 = 5*31 = 155