Втреугольнике авс известны стороны: ав=7, вс=10, ас=8. окружность, проходящая через точки а и с, пересекает прямые ва и вс соответственно в точках к и л, отличных от вершин треугольника. отрезок кл касается окружности,
вписанной в треугольник авс. найдите длину отрезка кл

обозначим о центр вписанной в треугольник окружности. обозначим точки касания вписанной окружностью м - со стороной ав, р - со стороной вс, и - точно так - же точку касания с kl обозначим n. 

из-за того, что асkl - вписанный четырехугольник, угол klc + угол вас = 180 градусов, но угол blk + угол klc = 180 градусов, поэтому угол blk = угол вас. поэтому треугольник вкl подобен авс. 

обозначим bm = bp = x; ам = ак = y; ck = cp = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

x + y = 7;

y + z = 8;

x + z = 10;

x - y = 2; 2*x = 9; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. периметр треугольника bkl равен 2*x = 9; поскольку km = kn и nl = lp, поэтому bk + kl + bl = bk + kn + nl + bl = mb + bp = 2*x

из того, что bkl подобен авс, следует, что bl = kl*7/8; bk = kl*10/8, периметр равен kl*25/8; поэтому 

kl*25/8 = 9; kl = 72/25;