Доказать что медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2: 1

самое простое и красивое доказательство, как ни странно, , исользующее понятие центра тяжести. вот оно - поместим в каждую вершину треугольника по одинаковой массе  m.

всё!

  потому что сразу понятно, что центр тяжести каждой стороны будет на её середине.  а значит треугольник можно заменить медианой(отрезком), на одной вершине которого масса m, а на другой  m+m = 2*m(сумма масс на концах стороны треугольника, к которому проведена медиана) центр тяжести этого отрезка будет делить его в отношении 1: 2, считая от вершины(конца, где масса m), это закон рычага или момента сил. так как это рассуждение можно применить к любой медиане, значит любая медиана делится в отношении 1: 2, а центр тяжести у любого тела(и у нашего треугольника в том числе) один, поэтому центры тяжести медиан , то есть они пересекаются  в одной точке. вот и всё.  мы всё доказали.

этот метод часто позволяет решать и более сложные , просто нужно придумать, какие массы и куда разместить, а дальше всё просто.

и ещё. это ещё раз показывает, что нет отдельно , , и пр., природой единые законы, а разные науки рассматривают явления просто с разных сторон. старайтесь всюду увидеть это единство и будет всё гораздо проще решать и понимать.