Вравнобедренном треугольнике угол при основании равен 72°,биссектриса этого угла равна √20.найдите стороны треугольника.

это интересный треугольник - из него можно легко найти выражения для тригонометрических функций углов, кратных 18 градусам.

легко видеть (сосчитайте величину углов в этих треугольниках, они все будут либо 72, либо 36 градусов, и   в каждом есть пара равных углов), что биссектриса угла при основании делит треугольник на 2 равнобедренных, то есть биссектриса равна основанию треугольника и - одновременно - равна отрезку боковой стороны, от вершины, противоположной основанию, до конца биссектрисы. итак, основание равно √20 = 2*√5.   если обозначить боковую сторону за а, то из свойства биссектрисы

а/√20 =  √20/(а -  √20);

a^2 - 2*√5*a = 20;

(a -  √5)^2 = 25;

a =  √5 + 5;  

легко видеть, что cos(72) = √5/(√5 + 5) = 1/(√5 + 1) = (√5 -1)/2  ;

Объяснение: ЗАДАНИЕ 1

По условиям ОА=ОС=радиусу=5. ОВ также радиус=5. Зная, что ВД=1, то ОД=ОВ-ВД=5-1=4. Рассмотрим ∆АОД и

СОД. Они прямоугольные, где ОА и ОС - гипотенуза, а ОД, АД, и СД - катеты и АД=СД, поскольку прямая ОВ проведена из центра окружности. Найдём по теореме Пифагора отрезки АД и СД.

АД=√(ОА²-АД²)=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3.

Итак: АД=СД=3, то тогда АС=3+3=6

ОТВЕТ: АС=6

ЗАДАНИЕ 2

Радиус ОВ, проведённый к точке касания образует с ней прямой угол 90°, поэтому ∆АОВ - прямоугольный, где АВ и ОВ- - катеты а ОА- гипотенуза. Зная, что АО=13, а АВ=12, найдём по теореме Пифагора радиус ОВ:

ОВ=√(АО²-АВ²)=√(13²-12²)=√(169-144)=

=√25=5

ОТВЕТ радиус ОВ=5