Теорема и доказательство, точка касательной окружности

величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

рассмотрим угол nав, образованный касательной na и хордой ab.  проведем диаметр ас. касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(can)=90°известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. отсюда имеем, что угол(bac) равен половине угловой величины дуги вс или половине угла(вос). угол(bac)=угол(boc)/2.угол(nab)=90°-угол(bac), отсюда получаемугол(nab)=90°-угол(boc)/2=(180°-угол(boc))/2=угол(аов)/2то есть равен половине угловой величины дуги ва.

фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). одна из сторон угла при этом становится касательной.

если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

на рисунке, где ma - касательная, а mcb - секущая,эта теорема выглядит так: ма2=мв*мс. докажем это.

по предыдущей теореме угол мас равен половине угловой величины дуги ас. но вписанный угол abc тоже опирается на дугу ac, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги ас. оба угла равны половине угловой величины дуги ac, следовательно, эти углы равны между собой. угол(mac)=угол(abc).принимая во внимание то, что у треугольников амс и вма угол при вершине м общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.из подобия имеем: mc/ma=ма/mb, откуда получаем ма2=мв*мс