Диагонали выпуклого четырехугольника abcd пересекаются в точке о под прямым углом, так, что ао=8, во=со=1, do=7, стороны ab и cd при продолжении пересекаются в точке м. найти угол amd. зарание !

  а ничего хорошего не получится.

проше всего это решать с векторных методов.

надо найти угол между векторами ва = (1,8) и cd = (7,1) (я перевернул чертеж, или- если хотите, перечислил вершины против часовой стрелки, на ответ это не влияет)

модули равны

ва = корень(65); cd = корень(50);

скалярное произведение

(ва,cd) = 1*7 + 8*1 = 15;

cos(amd) = 15/корень(65*50) = 3/корень(130);

это почти 75 градусов (точнее  74,7448812969422)

можете жаловаться :

могу предложить решение и без векторов. дело в том, что если из точки d провести прямую ii cb, отложить на ней отрезок, равный св (пусть получилась точка d1) и соединить d1 и в, то cdd1b - параллелограмм. поэтому угол амd = угол авd1, и нам достаточно найти ad1. но если мы теперь опустим перпендикуляр на ао (точка к) из точки d1, то по построению точки d1 имеем ак = 7, кd1 = 6, аd1 = корень(7^2 + 6^2) = корень(85);

ав и вd1 мы уже знаем  ва = корень(65); bd1 = cd = корень(50);

осталось только вычислить угол при между сторонами 

корень(65) и корень(50), если третья сторона  корень(85);

первое, что можно сделать - сократить все стороны на равное число (преобразование подобия не меняет углы), делим все на корень(5)

имеем 

корень(13) и корень(10), если третья сторона  корень(17);

по теореме косинусов

17 = 13 + 10 - 2*корень(130)*cos(ф); cos(ф) = 3/корень(130)

удивительно похоже на предыдущий ответ :

обратим внимание на то, что речь идет о противоположных углах, а не об углах, прилежащих к одной боковой стороне трапеции. основания трапеции параллельны, каждая боковая сторона при них - секущая. поэтому  сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°, так как они внутренние односторонние при пересечении параллельных прямых секущей. 

обозначим трапецию  авсд. по условию  ∠а: ∠с=1: 2

∠д: ∠в=7: 8 

примем угол  а=а, тогда угол  с=2а.

примем угол  д=7b, тогда угол  в=8b

a+8b=180° 

2a+7b=180° 

приравняем левые части уравнений:

а+8b=2a+7b⇒

b=a

подставим в первое уравнение вместо  b – а, т.к. они равны. 

тогда  а+8а=180°⇒

а=20° и b=20°. 

следовательно,  ∠вад=20°,  ∠авс=8•20°=160°;

∠всд=2•20=40°;   ∠сда=7•20=140°.