Около окружности с радиусом 5 описан ромб с острым углом в 30. найдите площадь ромба.

диаметр окружности равен расстоянию между параллельными прямыми, которых касается окружность. значит высота ромба 10. она равна стороне ромба, умноженной на синус острого угла, то есть сторона ромба равна 20. периметр 80, а площадь s = 10*20 = 200;  

вообще-то полезно запомнить. в равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен r = a/√3; а радиус вписанной окружности в 2 раза меньше, r = a/2√3; .

прямой способ - применить теорему синусов 2*r*sin(60°) = a, откуда это сразу следует. если теорема синусов незнакома - не беда, в правильном треугольнике все центры , и центр описанной окружности лежит на пересечении медиан, то есть на расстоянии (2/3 от длины медианы-биссектрисы-высоты) от вершины и (1/3 от длинны этой высоты) от стороны. то есть r = 2*h/3; r = h/3;

высота равна h = а*√3/2, что легко сосчитать из треугольника с гипотенузой а и малым катетом а/2. а радиус  r = (2/3)*a*√3/2 =  a*√3/3 =  a/√3; r = r/2 = a/2√3;

ответ r = 2√3;