Бісектриса прямокутного трикутника ділить його катет на відрізки 12 см і 20 см. Знайдіть площу трикутника.

Якщо бісектриса прямокутного трикутника ділить один із катетів на відрізки 12 см і 20 см, то ці відрізки відповідають відстаням від вершини прямокутного кута до точок перетину бісектриси з катетом.

Застосуємо властивості бісектриси прямокутного трикутника: відрізок, що ділить прямокутний кут навпіл, ділить і протилежну сторону на відрізки, пропорційні до інших двох сторін трикутника.

Так як один з відрізків дорівнює 12 см, а інший - 20 см, то ми маємо відповідну пропорцію: 12/20 = BC/AB, де BC - довжина одного катета, AB - довжина другого катета.

Розв'язуємо пропорцію: 12/20 = BC/AB

Перетворюємо її: AB = (20 * BC) / 12

Застосуємо теорему Піфагора для прямокутного трикутника: AB^2 + BC^2 = AC^2

Підставляємо значення AB: [(20 * BC) / 12]^2 + BC^2 = AC^2

Спрощуємо: (400 * BC^2) / 144 + BC^2 = AC^2

Об'єднуємо дробові доданки: (400 * BC^2 + 144 * BC^2) / 144 = AC^2

Складаємо чисельник: (544 * BC^2) / 144 = AC^2

Скорочуємо дріб: (17 * BC^2) / 36 = AC^2

Тепер знаходимо площу трикутника: S = (1/2) * BC * AC

Підставляємо значення: S = (1/2) * BC * √[(17 * BC^2) / 36]

Спрощуємо: S = (1/2) * √[(17 * BC^4) / 36]

Отже, площа трикутника дорівнює (1/2) * √[(17 * BC^4) / 36].

Объяснение: