Spez18

06.02.2021 11:23

Есть ответ 👍

В прямоугольный треугольник $ABC ~(\angle C=90^\circ)$ вписана окружность, касающаяся его сторон в точках . Найти отношение площади треугольника к площади треугольника , если см, см.

138

404

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Sashafgbjk

Геометрия

4,4(60 оценок)

Объяснение:

Гипотенуза $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\dfrac{3+4-5}{2}=1$ . Площадь $S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6$ .

Рассмотрим четырёхугольник OA₁CB₁: ∠С = 90° по условию, ∠A₁ = ∠B₁ = 90° как углы между радиусом и касательной, тогда ∠O = 360° - ∠C - ∠A₁ - ∠B₁ = 360° - 3·90° = 90°. Значит, OA₁CB₁ — прямоугольник, но поскольку OA₁ = OB₁ = r, это квадрат. Тогда OA₁ = OB₁ = B₁C = A₁C = 1.

AC₁ = AB₁ как отрезки касательных, проведённых из одной точки. При этом AB₁ = AC - B₁C = 4 - 1 = 3, т. е. AC₁ = AB₁ = 3. Аналогично BC₁ = A₁B = BC - A₁C = 3 - 1 = 2.

Найдём площадь $S_{A_1B_1C_1}$ путём вычитания площадей $S_{A_1B_1C},S_{AB_1C_1},S_{A_1BC_1}$ из площади $S_{ABC}$ :

$S_{A_1B_1C}=\dfrac{A_1C\cdot B_1C}{2}=\dfrac{1\cdot 1}{2}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\\S_{AB_1C_1}=\dfrac{1}{2}\cdot AB_1\cdot AC_1\cdot \sin{\angle{A}}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{27}{10}=2{,}7\\S_{A_1BC_1}=\dfrac{1}{2}\cdot A_1B\cdot BC_1\cdot\sin{\angle{B}}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{10}=1{,}6\\S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}-S_{A_1B_1C}-S_{AB_1C_1}-S_{A_1BC_1}=6-0{,}5-2{,}7-1{,}6=1{,}2\\\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{6}{1{,}2}=5$

В прямоугольный треугольник вписана окружность, касающаяся его сторон в точках . Найти отношение пл

280artur280

Геометрия

4,4(74 оценок)

По теореме Пифагора, AB²=BC²+AC²

$AB = \sqrt{9 + 16} \\ AB = 5$

Прямоугольный треугольник точками касания вписанной окружности делится на значения как на фото.

$CA_ {1}=CB_ {1} = r \\ AB_ {1}=AC_ {1} = y \\ BA_ {1} =BC_ {1} = x$

r – радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле

$r = \frac{a + b - c}{2}$

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

r=1

x=BC-r

x=3-1=2

y=AB-x

y=5-2=3

$CA_ {1}=CB_ {1} = 1 \\ AB_ {1}=AC_ {1} = 3\\ BA_ {1} =BC_ {1} = 2$

Площадь треугольник – половина произведения двух сторон и синуса угла между ними.

$S = \frac{1}{2} ab \sin( \gamma )$

Площадь ΔABC:

$S_ {ABC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin( {90}^{ \circ} ) = 6$

Площадь треугольника A1B1C1:

$S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}}=S_ {ABC}-S_ {CA_ {1} B_ {1}}-S_ {BA_ {1} C_ {1}}-S_ {AB _ {1} C_ {1}}$

$\sin( \angle B) = \frac{4}{5}$

$\sin( \angle A) = \frac{3}{5}$

$S_ {CA_ {1} B_ {1}} = \frac{1}{2} \times r \times r \times \sin( \angle C) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin( {90}^{ \circ} ) = \frac{1}{2}$

$S_ {BA_ {1} C_ {1}} = \frac{1}{2} \times x \times x \times \sin( \angle B) = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$

$S_ {AB_ {1} C_ {1}} = \frac{1}{2} \times y \times y \times \sin( \angle A) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \frac{3}{5} = \frac{27}{10} = 2.7$

И теперь найдем площадь ΔA1B1C1:

$S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}} = 6 - \frac{1}{2} - \frac{8}{5} - 2.7 = 6 - 0.5 - 1.6 - 2.7 = 1.2$

Отношение площади ΔABC на площадь ΔA1B1C1:

$\frac{S_ {ABC}}{S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}}} = \frac{6}{1.2} = 5$

$S_ {ABC}:S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}} = 5:1$

slaapwandelaar

Геометрия

4,8(58 оценок)

Обозначим угол при основании за х, т.к. у нас равнобедренный треугольник, то второй угол при этом же основании тоже х. а оставшийся, 2х ибо в два раза больше, уравнение: х+х+2х=180°, отсюда, 4х=180→х=45°, получили равнобедренный прямоугольный треугольник (совсем частный случай). другой, случай, когда угол при основании в два раза больше противоположного, если этот угол обозначить 2х, то получим уравнение: 2х+2х+х=180→ х=36, получили треугольник с углом 36°, и двумя углами по 72°. это и есть возможные случаи

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.