Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(9,5,5) В(-3,7,1) С(5,7,8) Д(6,9,2) и его высоту, опущенную из вершины Д на грань АВС.

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(9,5,5) В(-3,7,1) С(5,7,8) Д(6,9,2) и его высоту, опущенную из вершины Д на грань АВС.

Даны координаты пирамиды: A(9,5,5), B(-3,7,1), C(5,7,8), D(6,9,2)

Находим координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора AB

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = -3-9; Y = 7-5; Z = 1-5

AB(-12;2;-4)

AC(-4;2;3)

AD(-3;4;-3).

Найдем площадь грани АВС с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

  i        j       k

-12      2     -4

-4       2       3  =

=i(2·3-2·(-4)) - j((-12)·3-(-4)·(-4)) + k((-12)·2-(-4)·2) = 14i + 52j - 16k.

Получен нормальный вектор плоскости АВС, равный (14; 52; -16).

Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения.

S = (1/2)√(14² + 52² + 16²) = (1/2)√(196 + 2704 + 256) = (1/2)√3156 = √789 ≈ 28,0891.

Теперь находим смешанное произведение векторов (АВхАС)*AD.

14     52     -16

(-3     4        -3

-42 + 208 + 48 = 214.

Объём пирамиды равен (1/3) модуля векторного произведения(АВхАС)*AD.

V = (1/6)*214 = 214/6 = 107/3 куб. ед.

Высоту H из точки D на плоскость АВС найдём по формуле:

H = 3V/S(ABC) = 3*(107/3)/(√789) = 3,8093.