ЛеркаXD

23.08.2022 21:33

Алгебра

Есть ответ 👍

Пластина ограничена прямыми у=2х, у=х/2, х=1 найти площадь фигуры, массу пластины, статические моменты относительно осей х и у
плотность задается уравнением плотность=2х+1

291

293

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

darina20034

Алгебра

4,7(93 оценок)

$y=2x;\ y=\dfrac{x}{2}$

$2x=\dfrac{x}{2}$

$2x-\dfrac{x}{2} =0$

$\dfrac{3x}{2} =0$

x=0

$\Rightarrow 0\leqslant x\leqslant 1;\ \dfrac{x}{2} \leqslant y\leqslant 2x$

Символом $\boxed{=}$ будем разрывать вычисление внешнего интеграла для вычисления внутреннего.

Площадь:

$S=\iint\limits_D dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2}}dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }dy=y|^{2x}_{\frac{x}{2}}=2x-\dfrac{x}{2} =\dfrac{3x}{2}$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\dfrac{3x}{2} dx=\dfrac{3}{2} \int\limits^1_0xdx=\dfrac{3}{2} \cdot \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^1=\dfrac{3}{2} \cdot \left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$

Масса:

$m=\iint\limits_D \rho(x;y)dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }(2x+1)dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }(2x+1)dy=(2x+1)\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }dy=(2x+1)y|^{2x}_{\frac{x}{2} }=$

$=(2x+1)\left(2x-\dfrac{x}{2} \right)=(2x+1)\cdot\dfrac{3x}{2}=3x^2+\dfrac{3}{2}x$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\left(3x^2+\dfrac{3}{2}x\right)dx =\left.\left(3\cdot\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2} \right)\right|_0^1=\left(3\cdot\dfrac{1^3}{3} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1^2}{2} \right)-0=\dfrac{7}{4}$

Статический момент относительно оси х:

$M_x=\iint\limits_D y\rho(x;y)dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }y(2x+1)dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }y(2x+1)dy=(2x+1)\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }ydy=(2x+1)\left.\dfrac{y^2}{2} \right|^{2x}_{\frac{x}{2}}=(2x+1)\cdot\dfrac{(2x)^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 }{2}=$

$=(2x+1)\cdot\dfrac{4x^2-\dfrac{x^2}{4} }{2}=(2x+1)\cdot\dfrac{15x^2}{8} =\dfrac{15}{4}x^3+\dfrac{15}{8}x^2$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\left(\dfrac{15}{4}x^3+\dfrac{15}{8}x^2\right)dx=\left.\left(\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{15}{8}\cdot\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_0^1$

$=\left(\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{1^4}{4}+\dfrac{15}{8}\cdot\dfrac{1^3}{3}\right)-0=\dfrac{15}{16}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{16}$

Статический момент относительно оси y:

$M_y=\iint\limits_D x\rho(x;y)dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2}}x(2x+1)dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }x(2x+1)dy=x(2x+1)\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }dy=(2x^2+x)\left.y\right|^{2x}_{\frac{x}{2}}=$

$=(2x^2+x)\left(2x-\dfrac{x}{2}\right)=(2x^2+x)\cdot\dfrac{3x}{2}=3x^3+\dfrac{3}{2}x^2$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\left(3x^3+\dfrac{3}{2}x^2\right)dx =\left.\left(3\cdot\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\left(3\cdot\dfrac{1^4}{4} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1^3}{3}\right)-0=\dfrac{5}{4}$

Пластина ограничена прямыми у=2х, у=х/2, х=1 найти площадь фигуры, массу пластины, статические момен

maratsafa480

Алгебра

4,8(64 оценок)

Прикрепи или напечатай задания

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.