Исследовать функцию z = (x, y) на экстремум

ответ: функция имеет максимум zmax=12 в точке M(4;4).

Объяснение:

1) Находим первые частные производные:

z'x=y/(2*√x)-1, z'y=√x-2*y+6

Приравнивая их к 0, получаем систему уравнений:

y/(2*√x)-1=0

√x-2*y+6=0

Решая её, находим x=4 и y=4 - координаты единственной критической (стационарной) точки M.

2) Находим вторые частные производные:

z"xx=-y/(4*√x³), z"xy=1/(2*√x), z"yy=-2

и вычисляем их значения в точке M:

A=z"xx(M)=-1/8, B=z"xy(M)=1/4, C=z"yy(M)=-2

3) Составляем выражение A*C-B² и находим его значение. Оно равно 3/16>0, поэтому функция z действительно имеет экстремум в точке М. И так как при этом A<0, то это - максимум. Его значение zmax=4*√4-4²-4+6*4=12.

Пусть указанные числа равны X и Y.  

Тогда X = 30 + 4 * Y и X + Y = 540.  

Выразив X из второго уравнения как X = 540 - Y, а затем подставив его в первое уравнение, получим:  

540 - Y = 30 + 4 * Y,  

540 -30 = 4 * Y + Y,  

5 * Y = 510,  

Y = 510 / 5 = 102.  

Отсюда, X = 540 - 102,  

X = 438.  

ответ: 102 и 438.

Объяснение: