Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;2), B(17;10), C(13;12) и D(9;4). SABCD=

Объяснение:

→AB={17-13; 10-2}={4; 8}

→DC={13-9; 12-4}={4; 8}

→AB=→DC⇒AB=CD, AB||CD⇒ABCD-параллелограмм

→BC={13-17; 12-10}={-4; 2}

→AB·→BC=4·(-4)+8·2=-16+16=0

→AB·→BC=0⇒→AB⊥→BC⇒∠ABC=90°

ABCD-параллелограмм, ∠ABC=90°⇒ABCD-прямоугольник

AB²=|→AB|²=4²+8²=16+64=80

BC²=|→BC|²=(-4)²+2²=16+4=20

S²=(AB·BC)²=AB²·BC²=80·20=1600

S=40

А)  рассмотрим  треуг.  аве  и  свд. ав =  вс  как  боковые  стороны  равнобедренного  треуг.  авс.  ве  =  вд  как  половинки  боковых  сторон  равнобедренного  тр-ка  авс  (т.к. ае и сд медианы).  угол  в  у  этих  тр-ков  общий.  следовательно  тр-ки  аве = свд по первому признаку. б) рассм.  тр-ки  дое  и  аос. в  равнобедренном  тр-ке  медианы,  проведенные  из  вершин  при  основании  к  боковым  сторонам  равны  и  медианы  пересекаются  в  одной  точке  и  точкой  пересечения  делятся в  отношении  2  :   1  считая  от  вершины. значит  ае  = сд,  од  =  ое  =  1/3  ае,  ао  =  ос  =  2/2  ае. треугольник,  у  которого  две  стороны  равны,  называется  равнобедренным.  следовательно  тр-ки  дое и аос равнобедренные. в) повторюсь, медианы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется центроид). значит точка о лежит на медиане, проведенной из вершины в к основанию. но медиана,  проведенная  из  вершины  равнобедренного  треугольника к основанию является  также  и  бисектриссой.  значит  точка  о  лежит  на  бисектриссе, а точки д и е принадлежат боковым сторонам равнобедренного тр-ка авс, следовательно  во  бисектрисса  угла дое. 2. у  равных  тр-ков  равны  соответствующие  стороны  и  углы. пусть de  =  df  =  4  см  -  боковые  стороны,  fe  =  5  см  -  основание,  тогда  периметр  def  =  4  +  4  +  5  =  13 см.  и  как  было  сказано  вначале,  что  у  равных  тр-ков  равны  соответствующие  стороны,  то  ас  =  ав  =  4  см,  вс  =  5  см.  р  =  13  см. но  может  быть  и  другой  вариант  решения,  поскольку  в    не  указано  какая из  сторон  является  основанием,  а  какая  боковая,  поэтому. ef  =  df =  5  см  -  боковые  стороны,  de =  4  см  -  основание,  р =  5 +  5  +  4  =  14  см. следовательно  периметр  тр-ка  авс  =  14  см.