Регистрация Спросить otvet5GPT
dianashotys
27.05.2020 17:51
Алгебра
Есть ответ 👍

Подскажите ,как доказать что когда сумма n первых членов последовательности можно посчитать по формуле Sn=n^2- 3n,то эта последовательность является арифметической прогрессией?

113
199
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

nastafill
nastafill
4,7(21 оценок)

S_n=n^2- 3n

Воспользуется тем, что сумма первых n членов последовательности равна сумме первых (n-1) членов последовательности и n-ого члена последовательности:

S_n=S_{n-1}+a_n

Отсюда выразим n-ый член последовательности:

a_n=S_n-S_{n-1}

Найдем его:

a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2- 3n)-((n-1)^2- 3(n-1))=

=(n^2- 3n)-(n^2-2n+1-3n+3)=(n^2- 3n)-(n^2-5n+4)=

=n^2- 3n-n^2+5n-4=\boxed{2n-4}

Как видно, n-ый член последовательности имеет форму n-ого члена арифметической прогрессии, который обычно записывается так:

a_n=a_1+d(n-1)

Преобразовав, можно получить:

a_n=dn+a_1-d

Получаем несложную систему для нашего случая:

\begin{cases} d=2\\ a_1-d=-4} \end{cases}

Дорешав которую, можно определить какая именно арифметическая прогрессия имелась в виду:

\begin{cases} a_1=-2 \\ d=2} \end{cases}

angel218
angel218
4,5(51 оценок)

Доказательство:

Дана последовательность

S_n = n^2 - 3n(1)

Допустим, что эта последовательность арифметическая прогрессия, тогда

при n = 1  получаем

S_1 = a_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 = -2

при n = 2

S_2 = a_1 + a_2 = 2^2- 3 \cdot 2 = -2

и

а₂ = -2 - а₁ = -2 + 2 = 0

Таким образом разность арифметической прогрессии

d = a₂ - a₁ = 0 + 2 =  2

По известной формуле найдем n-й член  арифметической прогрессии

a_n =a_1 + d\cdot (n-1) = -2 + 2\cdot (n-1) = 2n-4

Известно, что сумма n членов арифметической прогрессии

S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n(2)

Докажем, что выражение (2) тождественно выражению (1) при

a₁ = -2 и a_n =2n - 4, подставив  в (2)

S_n= \dfrac{-2-4 + 2n}{2}\cdot n = \dfrac{-6 + 2n}{2}\cdot n =(n - 3)\cdot n = n^2 - 3n

Тождество доказано.

Следовательно, последовательность, определённая суммой S_n = n^2 - 3n является  арифметической прогрессией.

maxshcherba5p08v6b
maxshcherba5p08v6b
4,4(72 оценок)
Оококоататаоаоаоаоаоаоаоаоаоаоаооаоаоааоп

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS