Подскажите ,как доказать что когда сумма n первых членов последовательности можно посчитать по формуле Sn=n^2- 3n,то эта последовательность является арифметической прогрессией?

Воспользуется тем, что сумма первых n членов последовательности равна сумме первых (n-1) членов последовательности и n-ого члена последовательности:

Отсюда выразим n-ый член последовательности:

Найдем его:

Как видно, n-ый член последовательности имеет форму n-ого члена арифметической прогрессии, который обычно записывается так:

Преобразовав, можно получить:

Получаем несложную систему для нашего случая:

Дорешав которую, можно определить какая именно арифметическая прогрессия имелась в виду:

Доказательство:

Дана последовательность

Допустим, что эта последовательность арифметическая прогрессия, тогда

при n = 1  получаем

при n = 2

и

а₂ = -2 - а₁ = -2 + 2 = 0

Таким образом разность арифметической прогрессии

d = a₂ - a₁ = 0 + 2 =  2

По известной формуле найдем n-й член  арифметической прогрессии

Известно, что сумма n членов арифметической прогрессии

Докажем, что выражение (2) тождественно выражению (1) при

a₁ = -2 и , подставив  в (2)

Тождество доказано.

Следовательно, последовательность, определённая суммой является  арифметической прогрессией.