Вокружности, радиус которой равен 15, проведена хорда ав = 24. точка с лежит на хорде ав так, что ас : вс = 1 : 2. найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды ав в точке с.

сразу ясно, что перпендикуляр к общей касательной, проведенный из точки касания, пройдет через оба центра обеих окружностей. положение точки с, как второй точки касания малой окружности, задает нам и расстояние от центра малой окружности до радиуса, перпендикулрного хорде (ну, который проходит через середину хорды). все это сразу позволяет записать соотношение

oo1^2 = cm^2 + m1o^2; где м середина хорды, о1 - центр малой окружности, м1 - основание перпендикуляра из о1 на ом (на продолжение ом, конечно). ясно ,что мм1 = r, где r   - радиус малой окружности (r обозначим радиус большой).

сначала вычислим см и ом.

ас = 24/3 = 8, см = 24/2 - 8 = 4;

ом^2 = r^2 - am^2 = 15^2 - 12^2 = 81; om = 9;

таким образом, мы имеем

(15 - r)^2 = 4^2 + (r + 9)^2; это даже не квадратное уравнение : ))

128 = (30 + 18)*r;

r = 8/3;  

мне было справедливо замечено andr1806, что окружность может быть вписана не в "малый", а в "большой" сегмент окружности радиуса 15 (хорда длины 24 делит окружность радиуса 15 на два сегмента). для этого случая уравнение не сильно меняется, любой может это сам увидеть.

(15 - r)^2 = 4^2 + (r - 9)^2;