с решением! 1.Диагонали квадрата пересекаются в точке К. К плоскости квадрата через точку К проведен перпендикуляр КМ равный 5см. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 4см. (ответ:√33)

2.Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Стороны треугольника АВ=АС=6см, ВС=8 см, АD = 4см. Найдите расстояние от концов отрезка АD до прямой ВС. (ответ: 2√5см; 6см)

3.В тетраэдре АВСD все ребра равны, точка Е – середина ребра ВD. Докажите, что угол АЕС- линейный угол двугранного угла СВDА.

4.Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 4см, 5см, 7см. (ответ: 3√10см)

По условию дано, что ОМ + ОР = 15 см. Пусть ОМ = х , тогда ОР = 15 - х.

Рассмотрим треугольники КОМ и КОР. Данные треугольники являются прямоугольными, так как КО - перпендикуляр к плоскости альфа.

По теореме Пифагора выразим общий катет (KO) треугольников КОМ и КОР:

1. В треугольнике КОМ:

КО^2 = 15^2 - OM^2

KO^2 = 225 - x^2

2. В треугольнике КОР:

КО^2 = (10sqrt3)^2 - OP^2

KO^2 = 100 * 3 - (15 - x)^2

KO^2 = 300 - (15 - x)^2

Из двух полученных значений КО^2 следует, что:

KO^2 = 225 - x^2 = 300 - (15 - x)^2

или

225 - x^2 = 300 - (15 - x)^2

Тогда x = 5 => OM = 5 (см)

Из треугольника КОМ выразима КО по теореме Пифагора, т.е.:

КО = sqrt (225 – 25) = sqrt 200 = sqrt (100 * 2) = 10 sqrt 2

Далее, если нужно, выражаем это значение более подробно.

Для этого находим значение квадратного корня из двух и решаем:

Sqrt 2 ~ 1, 414 ~ 1, 4 => KO ~ 10 * 1,4 => KO ~ 14 (см)

ответ: 10 sqrt 2 (или 14 см).