В прямоугольном треугольнике с углом 45 высота, проведенная к гипотенузе равна 9см. Найдите площадь треугольника.

Способ: s(amb)=1/2ma·mb·sin(amb)=(√3/4)ma·mb, т.к.  ∠amb=∠acb=60°. отсюда    ma·mb=4s(amb)/√3 и аналогично из площадей  треугольников amc и смв получим  ma·mc=4s(amc)/√3,  mc·mb=4s(сmв)/√3. по теореме косинусов для тех же треугольников: ab²=ma²+mb²-ma·mb=ma²+mb²-(4/√3)·s(amb); aс²=ma²+mс²+ma·mс=ma²+mс²-(4/√3)·s(amс); сb²=mс²+mb²-mс·mb=mс²+mb²-(4/√3)·s(сmb). сложим эти равенства: ab²+aс²+сb²=2(ma²+mb²+mс²/√3)·(s(amb)-s(amс)+s( но  ab=aс=сb=√3, и значит ab²+aс²+сb²=3+3+3=9, s(amb)+s(сmb)-s(amс)=s(abc)=(3√3)/4. поэтому 9=2(ma²+mb²+mс²/√3)·(3√3)/4, т.е.  ma²+mb²+mс²=(9+3)/2=6. тригонометрический способ: если r - радиус,  о - центр окружности и ∠aom=2x, то    mа=2rsin(x), mb=2rsin(60°+x), mc=2rsin(60°-x). значит  ma²+mb²+mс²=4r²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°- после раскрытия синусов суммы и получим 6r², что и требовалось.