Как найти радиус окружности, зная координаты центра и точки на окружности.

у этой есть наглядное решение.

можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в . 

сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, "боковые" грани которой - равнобедренные прямоугольние треугольники, а "основание" - правильный треугольник с вершинами в точках  (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).

поэтому искомый угол равен 60 градусам.

эту же мысль (трудно назвать это решением - уж больно просто: )) можно выразить без упоминания координатных осей. дело в том, что упомянутая пирамида - это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину.

берется какая -то вершина куба аbcda1b1c1d1, например, а, и проводится сечение через точки в, d и а1, у пирамиды а1bda все трехгранные углы при вершинах "основания" a1bd соответствуют условию . в самом деле, рассмотрим, например, вершину d. треугольники adb и ada1 - равноберенные прямоугольние, поэтому углы аdb и ada1 равны 45 градусов. что же касается двугранного угла между плоскостями   аdb и ada1, то это - двугранный угол между гранями куба : ), то есть он равен 90 градусам. 

поэтому трехгранный угол при вершине d  пирамиды а1bda удовлетворяет условию . по условию , нужно найти угол a1db, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник a1db равносторонний.