Вычислите:
Вычислите функцию
если х=2,3; 4,1; 3,3; 1,9; -2,1; -4,3;​

.

найдите наименьшее значение функции f(x)= x3  - 3x2- 9x + 31 на отрезке [-1; 4].

решение:

напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. 

найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю. 

y´(x)=(x3-3x2-9x+31  )´= 3x2  - 6x - 9  - существует при любых x.

3x2  - 6x - 9=0

сократим на 3: x2  - 2x - 3=0

d= b2-4ac, d = (-2)2  - 4*1*(-3) = 4  +  12  =16

x1,2= (-b±√d) / 2a,

x1,2= )  ±√16) / 2*1 = (2±4) / 2 = 3, -1. 

x1=  -1, x2= 3  - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.

когда производная меньше нуля, функция убывает.

когда производная больше нуля, функция возрастает.

посмотрим на знаки производной.

при x< -1 y´(x)> 0,  функция y(x) возрастает

при -1 < x< 3  y´(x)< 0,  функция y(x) убывает

при х> 3  y´(x)> 0,  функция y(x) возрастает

  на отрезке [-1; 4] функция убывает до точки х=3 и возрастает после нее, значит наименьшее значение в точке 3.

подставим х=3  в функцию, получаем: y(3) =  33- 3*32- 9*3+ 31= 27-27-27+31= 4,    это и будет ответ.

ответ: 4