Подробное решение Найдите синус и тангенс угла А, если cosА 5/9 и 0< A< 90 градусов

По основному тригонометрическому тождеству: , откуда:

Тангенс угла равен частному от деления синуса этого угла на косинус.

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник abc, ab, bc - катеты, ac - гипотенуза. во-первых, его периметр p abc = ab+ac+bc = 36. но по условию дано, что ac=15, тогда ab+bc = 36 - 15 = 21. теперь запишем теорему пифагора, т.к. треугольник прямоугольный: ab²+bc²=ac², если ac=15, то ab²+bc²=225. получаем следующую систему: ab+bc=21 ; ab²+bc²=225. выразим из первого равенства ab=21-bc и подставим во второе равенство: (21-bc)²+bc²=225 → 441-42*bc+bc²+bc²=225→2*(bc²)-42*bc+216=0→bc²-21*bc+108=0→по аналогии с квадратным уравнением найдем дискриминант d=441-432=9, тогда bc=(21+3)/2=12 или bc=(21-3)/2=9, то есть для выполнения исходных данных подходит как значение bc=12, так и bc=9. соответственно, если bc=12, то возвращаясь к системе, видим, что ab=21-bc=21-12=9. если bc=9, то ab=12. соответственно получаем следующие пары длин катетов (12; 9) , (9; 12). но для нахождения радиуса вписанной окружности не важно, какую пару брать, т.к. он ищется по следующей формуле: (ab+bc-ac)/2=r, где ab, bc-длины катетов, ac-длина гипотенузы. подставив, получаем: r=(12+9-15)/2=6/2=3. видно, что если бы мы взяли пару (9; 12), ответ был бы такой же: r=(9+12-15)/2=6/2=3. ответ: 3