Точка М принадлежит одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, точка N – другой из них. Расстояние от данных точек до линии пересечения плоскостей: |ММ_1 |=14см; |NN_1 |=7см Найти |М_1 N_1 | , если |MN|=21см .

α⊥β, α∩β = а.

Проведем МА⊥α и МВ⊥β.

Тогда МА = 12 см - расстояние от точки М до плоскости α,

МВ = 5 см - расстояние от точки М до плоскости β.

Затем проведем АС⊥а и ВС⊥а.

Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна линии пересечения перпендикулярных плоскостей, то он перпендикулярна другой плоскости. Значит

АС⊥β и ВС⊥α.

АС║МВ и ВС║МА как перпендикуляры к одной плоскости, значит

МАСВ прямоугольник.

Прямая а перпендикулярна плоскости МАВ (а⊥АС и а⊥ВС), значит

а⊥МС.

МС - искомое расстояние от точки М до прямой а.

Из прямоугольного треугольника МАС по теореме Пифагора:

МС = √(МА² + АС²) = √(144 + 25) = √169 = 13 см

треугольник прямоугольный. пусть в нём будут катеты а, b, гипотенуза с. по условию а = 13.

применим   теорему пифагора:

с² = а² + b²

с² –  b² = 13²

по формуле разности квадратов:

(с – b)(с + b) = 169

тогда произведение двух чисел равно 169.

рассмотрим, как при произведения двух чисел получить 169.

возможны два случая:

169 = 13 ∙ 13 или 169 = 1 ∙ 169

тогда множители могут быть равны 13 и 13; 1 и 169; 169 и 1.

получаются три случая, три системы уравнений с двумя неизвестными, рассмотрим эти системы:

1)

с – b = 13

с + b = 13

решим методом сложения:

2с = 26

с = 13, тогда b = 0

данный ответ не подходит, b – длина стороны треугольника, не может равняться 0.

2)

с – b = 1

с + b = 169

решим методом сложения:

2с = 170

с = 85

тогда из первого уравнения: с –  b = 1 ⇒ b = с –  1 = 85 –  1 = 84

ответ: стороны треугольника а = 13; b = 84; с = 85.

для данных сторон выполняется неравенство треугольника, поэтому такой треугольник существует.

3)

с – b = 169

с + b = 1

такое невозможно для треугольника, так как сумма длин двух сторон любого треугольника всегда будет больше разности длин двух сторон треугольника. а в данном случае получается наоборот - сумма длин меньше разности длин.

сделаем вывод, что ответ только один: а  = 13;   b  = 84; с = 85.

найдём периметр: р∆ = а + b + с = 13 + 84 + 85 = 182