Дан прямоугольный треугольник PQS с прямым углом Р. Установите соответствия между отношениями сторон и тригонометрическими функциями острого угла: а) PS b) QS; c) QS

1) синус угла Q; 2) косинус угла Q; 3) синус угла S;

4) косинус угла S; 5) тангенс угла Q; 6) тангенс угла S;

7) котангенс угла Q; 8) котангенс угла S. [3]

​

Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.

Острого угла в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Определение.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin, cos, tg и ctg соответственно.

Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB, то есть, sin∠A=BC/AB.

Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3, а гипотенуза AB равна 7, то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7.

К началу страницы

Угла поворота

В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота. Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞.

В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A1, в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности.



Определение.

Синус угла поворота α - это ордината точки A1, то есть, sinα=y.

Определение.

Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A1, то есть, cosα=x.

Определение.

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x.

Определение.

Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y.

Синус и косинус определены для любого угла α, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1), а это имеет место при углах 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, k∈Z (π·k рад).

Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, k∈Z (π·k рад).

В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30°, записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π.

В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.

Такжесоответственно.

Наклонные, их проекции на плоскость и перпендикуляр из точки на плоскость образуют два прямоугольных треугольника с общим катетом h. наклонная, образующая меньшую проекцию, меньше наклонной с большей проекцией. пусть меньшая наклонная равна х, тогда большая х+5. по теореме пифагора h²=x²-7²=x²-49 и h²=(x+5)²-18²=х²+10х+25-324=х²+10х-299. объединим два уравнения h²: х²-49=х²+10х-299, 10х=250, х=25. h²=х²-49=25²-49=576, h=24 см - это ответ.