1. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них составляет угол 30º, а другая 45º с плоскостью. Расстояние от точки до плоскости 20см. Найти расстояние между основаниями наклонных, если их проекции перпендикулярны.
2.Треугольник АВС (стороны 7см, 20см, 15см) проектируется на плоскость под углом 45º. Найти площадь проекции.
3. Внутри прямого двугранного угла взята точка, равноудаленная от каждой грани на 12см. Найти расстояние от этой точки до ребра.

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, . В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой , лежащей в плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую а, которая параллельна . Тогда углы между прямыми a, АМ, НМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой а и прямой АМ будет вытекать перпендикулярность прямой а и прямой НМ и наоборот.

Рис. 5.
8. Задача 1
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен .
а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d.
б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

Рис. 6.
а) Дано:

Найти:

Решение:
Итак, имеем плоскость α, точку А, (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок АН, который проведен из точки А к плоскости , АМ – наклонная.
Мы имеем треугольник АНМ. Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу АМ, нужно катет АН разделить на косинус прилежащего угла НАМ.

Найдем катет НМ.

ответ: АМ=d/cos,HM=dtg

диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. поэтому диагонали разбиваеют ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. r впис-ой окружности равен высоте, опущенной из вершины прямого угла умноженной на гипотенузу.

 

используя т-му пифагора найдём сторону (все стороны в ромбе равны) 

  сторона в квадрате =  15*15+20*20 = 400 + 225 = 625

каждая сторона ромба = корень из 625 = 25

 

проведём из центра (точки о) прямую линию ом на сторону ромба, к примеру на ав ( прямая должна доходить до середины стороны ав ). это прямая будет являться радиусом окружности!  

 

треугольники аво и амо подобны

 

если треугольники подобны, то : ом/во = оа/ав ом = ао*ов/ав = 20*15/25 = 12 см

ответ 12 см