Провести полное исследование функции y=2x^2/2x-1 и построить ее график

1.  Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1.

2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2    непрерывна на всей области определения.  

Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ 1.

Область значений функции приведена в пункте 5.

3. Точки пересечения с осью координат Ох.

График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:

(2x-1)/(x+1)^2 =0.  

Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.

Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0.  х = 0,5.

Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1.  

4. Точки пересечения с осью координат Оу.

График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.

В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.

Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1).

5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y^'=-2x/(x-1)^3 =0.

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0.

Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции :

x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞).  

На промежутках находим знаки производной.

Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.  

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =     -1         0 0,5   1    2

y' = -0,25 0 8   -   -4

Минимум функции в точке х = 0.

Максимума функции  нет.

Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1).

Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞)..

Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1.

Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0).

lim┬(x→1)⁡〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗.

Так как в точке х = 1 функция  терпит бесконечный разрыв,  то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика.

Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.

6. Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.  

y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0.

Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2.

Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).  

7. Интервалы выпуклости, вогнутости:  

Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:

x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞).  

Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:

x =        -1      -0,5 0,5   1    2

y'' = -0,125 0 64       -   10

Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)).

Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞).

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1.

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:  

lim┬(x→∞)⁡〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

lim┬(x→-∞)⁡〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид  y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬(  x→±∞)⁡〖(kx+b-f(x)).〗  

Находим коэффициент k:    k=lim┬(x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗  

k=  lim┬(x→∞)⁡〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗

Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞.

9. Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).

3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Таблица точек

x y

-4.0 -0.36

-3.5 -0.4

-3.0 -0.44

-2.5 -0.49

-2.0 -0.56

-1.5 -0.64

-1.0 -0.75

-0.5 -0.89

0 -1

0.5 0

1.0 -

1.5 8

2.0 3

2.5 1.78

3.0 1.25

3.5 0.96

4.0 0.78

4.5 0.65

5.0 0.56

5.5 0.49

6.0 0.44

Пошаговое объяснение: