Доказать что к^4-k^2 кратно 12 при всех натуральных к

k^4-k^2 кратно 12 (1)

ш.и.(шаг индукции) проверим верно ли (1), при k=1:

1^4-1^2=0 => 0кратно12(верно)

п.и.(предположение индукции) предположим, что (1) верно, при k=n, т.е.

n^4-n^2 кратно12=> n^2(n^2-1)кратно12

б.и. докажем, что (1) верно, при k=n+1:

(n+1)^4-(n+1)^2=(n+1)^2((n+1)^2-1)=(n+1)^2(n+1+1)(n+1-1)=(n+1)^2(n+2)n=

=(n^2+2n+1)(n^2+2n)=n^4+2n^3+2n^3+4n^2+n^2+2n=n^2(n^2+4n+5)+2n=

=n^2(n^2+4n+6-1)+2n=n^2(n^2-1)+n^2(4n+6)+2n=n2(n^2-1)+4n^3+6n^2+2n=

=n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1), т.к. n^2(n^2-1)кратно12 по п.и., то по св-ву делимости №2, необходимо док-ть, что 2n(2n^2+3n+1)кратно12(2)

ш.и. проверим верно ли (2), при n=1:

2(2+3+1)=12=> 12кратно12(верно)

п.и. предположим, что (2) верно, при n=r, т.е.

2r(2r^2+2r+1)кратно12

б.и. докажем, что (2) верно при n=r+1:

2(r+1)(2(r+1)^2+3(r+1)+1)=(2r++1)(2(r+1)+3)+1)=

=(2r++1)(2r+5)+1)=(2r+2)(2r^2+5r+2r+6)=(2r+2)(2r^2+7r+6)=

=4r^3+14r^2+12r+4r^2+14r+12=4r^3+6r^2+8r^2+2r+10r+4r^2+14r+12=

=2r(2r^2+3r+1)+12r^2+24r+12=2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1), т.к.

2r(2r^2+3r+1)кратно12 по п.и., а 12(r^2+2r+1)кратно12, т.к. 12кратно12 и (r^2+2r+1)принадлежит множеству натуральных чисел(т.е. по св-ву делимости№7)=> по св-ву делимости№2 (2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1))кратно12=> 2n(2n^2+3n+1)кратно12 (исходя из метода индукции)=>

=> ( n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1))кратно12 по св-ву делимости№2=>

=> k^4-k^2кратно12(исходя из метода индукции) ч.т.д.

 

св-во делимости№2: если a кратно b и c кратно b, то (a+c)кратно b.

св-во делимости№7: если a кратно b и c – любое натуральное число, то ac кратно b.

 

 

А)x+y=10 x^2-y^2=40x=10-y(10-y)^2 -y^2=40100-20y+y^2-y^2=40-20y=-60y=3x=7 б)x-y=4 x^2-y^2=40 x=4+y (4+y)^2-y^2=40 16+8y+y^2-y^2=40 8y=24 y=3 x=7 в)x-y=4 xy=5x=4+y y(4+y)=5 y^2+4y-5=0 d=16+20=36 y1=1   x1=5 y2=-5   x2=-1 г)x-y=4 xy=12x=4+y y(4+y)=12 y^2+4y-12=0 d=16+48=64 y1=2 x1=6 y2=-6 x2=-2