X-1+
5x + 2
+
12
3
5+ 3x
4​

1). (2х+4) / (х-2) = 10   - домножим обе части уравнения на (х-2), получим:

(2х+4) = 10(х-2)

2х+4 = 10х - 20

10х-2х = 20+4

8х = 24

х=24/8 = 3

Однако надо, чтобы (х-2)≠0, т.к это знаменатеоь, а на ноль делить нельзя.

Следователбно:

х=3: (3-2)≠0 - верно

Проверяем: 

(2*3+4) / (3-2) = 10 / 1 = 10

ответ: при х =3.

2).  пусть х это числитель искомой дроби, тогда знаменатель этой дроби равен (х+1)

Составляем уравнение:

(х+2) / ((х+1)+3) = х / (х+1)

(х+2) / (х+4) = х / (х+1)

(х+2)(х+1) = х(х+4)

х²+2х+х+2=х²+4х

х²-х²+2х+х+2-4х=0

-х=-2

х=2 - это числитель искомой дроби.

Найдем знаменатель искомой дроби:  2+1 = 3

Следователбно, у нас получилась дробь: 2/3.

Проверка:

(2+2) / (3+3) = 4/9 =2/3 

ответ: искомая дробь 2/3.

3). Составляем уравнение:

1/у - у/(у+1) = 1/у * у/(у+1)

1/у - у/(у+1) = 1/(у+1)

1/у - у/(у+1) -1/(у+1) =0

1/у -((у+1)/(у+1)) = 0

1/у - 1 =0

1/у = 1

у = 1

Проверка: 

разность: 1/у - у/(у+1) = 1 - 1/(1+1) = 1- 1/2 = 1/2

произведение: 1/у * у/(у+1) = 1/1 * 1/(1+1) = 1* 1/2 = 1/2

разность =произведению = 1/2

ответ: при у=1.

4). 

а). (х²+2х)/(х+4) = 8/(х+4)

Домножим обе части уравнений на (х+4):

(х²+2х) = 8

х²+2х-8=0

D = 4 + 4*8 = 4+32=36 >0 ⇒ 2 корня

 х₁= (-2+6)/2 =4/2 =2

 х₂= (-2-6)/2 = -8/2 = -4

Однако надо, чтобы (х+4)≠0, т.к это знаменатеоь, а на ноль делить нельзя.

Следователбно:

х=2: (2+4)≠0 - верно

х=-4: (-4+4)=0 ⇒ х=-4 - не является корнем уравннеия и его не берем

Проверка:

х=2:

(4+4)/(2+4) = 8/(2+4)

 8/6 = 8/6 - верно

ответ: х=2.

б). 10/х =7-х

Домножим на х обе части уравнения:

10 = х(7-х)

10 = 7х -х²

х²-7х+10 = 0

D=49-4*10=9 >0 ⇒ 2 корня

 х₁= (7+3)/2 =10/2 =5

 х₂= (7-3)/2 = 4/2 = 2

Однако надо, чтобы х≠0, т.к это знаменатеоь, а на ноль делить нельзя. Оба корня удовлетворяют этому условию, значит, оба являются решениями.

Проверка:

х=5:

10/5 = 7-5

2=2 -верно

х=2:

10/2 = 7-2

5=5 - верно

ответ: х₁=5, х₂=2.

в). (х+3)/х = (2х+10)/(х-3)

х≠0 - т.к. знаменатель не может быть 0

х - 3≠0 ⇒ х≠3  т.к. знаменатель не может быть 0

(х+3)(х-3) = х(2х+10)

х²-9 = 2х²+10х

х²+10х+9 = 0

D=100-4*9=100-36=64>0 ⇒ 2 корня

 х₁= (-10+8)/2 =-2/2 =-1

 х₂= (-10-8)/2 = -18/2 = -9

Берем оба корня.

Проверка:

х = - 1:

(-1+3)/(-1) = (-2+10)/(-1-3)

-2 = -8/4

-2=-2 - верно

х = - 9:

(-9+3)/(-9) = (-18+10)/(-9-3)

6/9 = 8/12

2/3 = 2/3 - верно

ответ: х₁=-1, х₂=-9.

5). 

а). (х²-8х)/(5-х) = 15/(х-5)

(х²-8х)/(5-х) = -15/(5-х)

5-х≠0 ⇒ х ≠5

Домножим обе части уравнения на (х-5)

(х²-8х) = -15

х²-8х+15=0

D=64-60=4>0 ⇒ 2 корня

 х₁= (8+2)/2 =10/2 =5 - не берем, тк. не удовлетворяет условию: х ≠5

 х₂= (8-2)/2 = 6/2 = 3

Проверяем:

х=3:

(9-24)/(5-3) = 15/(3-5)

-15/2 = -15/2 - верно.

ответ: х=3.

б).  (2х²+х-1)/(х+1) = 3х+1

х+1≠0 ⇒ х≠ -1

Домножим на (х+1):

(2х²+х-1) = (3х+1)(х+1)

2х²+х-1 = 3х²+х+3х+1

х²+3х+2=0

D = 9-8=1 ⇒ 2 корня

 х₁= (-3+1)/2 =-2/2 =-1 - не берем, тк. не удовлетворяет условию: х ≠ -1

 х₂= (-3-1)/2 = -4/2 = -2

Проверяем:

х= -2:

(8-2-1)/(-2+1) = -6+1

-5 = -5  -верно

ответ: х= -2.

в). (3х+1)/х + 5/(х-2) = (6х-2)/(х²-2х)

 (3х+1)/х + 5/(х-2) = (6х-2)/(х(х-2))

Приведем к общему знаменателю х(х-2) левую часть уравнения:

((3х+1)(х-2))/(х(х-2)) + 5х/(х(х-2)) = (6х-2)/(х(х-2))

х(х-2)≠0 ⇒х≠0 и х≠2

Домножаем на х(х-2) обе части уравнения:

(3х+1)(х-2) + 5х = 6х-2

3х²+х-6х-2+5х = 6х-2

3х² -2 = 6х-2

3х² -6х -2 +2 =0

3х² -6х =0

х(3х-6)=0

х=0                      и   3х-6=0

                                         3х=6

                                         х=6 : 3

                                         х=2

Получили 2 корня:

х₁ = 0 - но он не удовлетворяет условию х≠0 ⇒ не является решением

х₂ = 2 - но он не удовлетворяет условию х≠2 ⇒ не является решением

ответ:решений нет.