У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квад­рат, дві вершини якого лежать на гіпоте­нузі трикутника, а дві інші – на катетах. Знайти периметр квадрата, якщо гіпотенуза дорівнює 18 см

Треугольник авс тупоугольный, равнобедренный. значит большая сторона (ас) - основание, так как углы при основании равны, а в треугольнике не может быть двух тупых углов. проведем биссектрису ак и высоту ан  из угла а при основании треугольника. (проводить их из вершины тупого угла на основание нет смысла, поскольку высота и биссектриса в этом случае равны (равносторонний треугольник). высота в нашем случае падает на продолжение противоположной боковой стороны вс. итак, имеем: < нак =36°(дано), < анс=90°, < кас=0,5*< вса (ак-биссектриса < вас, а < вас=< вса=< c). < нас+< нса=90° (треугольник нас - прямоугольный с < анс=90°), < нас=< нак+< кас. тогда 36°+(< c/2)+< c =90°, откуда 1,5*< c=90°-36° и < с=36°. угол в= 180°-2*36° = 108°  ответ: углы треугольника авс = 36°, 108° и 36°.