Математика: Решить приближенно задачу Коши методом Рунге-Кутта:

tafefuyozo

09.06.2020 13:04

Есть ответ 👍

Решить приближенно задачу Коши методом Рунге-Кутта:

258

386

Посмотреть ответы 2

VoinBogov

Математика

4,7(14 оценок)

$y'=x^2+\dfrac{1}{1+y^2}$

Решениями являются следующие пары:

$(0;\ y_1),\ (0.1;\ y_2),\ (0.2;\ y_3)$

По условие уже известно, что y_1=1

Для вычисления последующих значений используем формулу:

$y_{i+1}=y_i+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ , где:

$k_1=f(x_i;\ y_i)$

$k_2=f\left(x_i+\dfrac{h}{2} ;\ y_i+\dfrac{hk_1}{2}\right)$

$k_3=f\left(x_i+\dfrac{h}{2} ;\ y_i+\dfrac{hk_2}{2}\right)$

$k_4=f\left(x_i+h ;\ y_i+hk_3\right)$

$f(x; \ y)=x^2+\dfrac{1}{1+y^2}$

Рассчитываем y_2 :

$k_1=f(x_1;\ y_1)=0^2+\dfrac{1}{1+1^2}=\dfrac{1}{2} =0.5$

$k_2=f\left(0+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1+\dfrac{0.1\cdot0.5}{2}\right)=f(0.05;\ 1.025)=\\=0.05^2+\dfrac{1}{1+1.025^2}\approx0.49$

$k_3=f\left(0+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1+\dfrac{0.1\cdot0.49}{2}\right)=f(0.05;\ 1.0245)=\\=0.05^2+\dfrac{1}{1+1.0245^2}\approx0.49$

$k_4=f\left(0+0.1 ;\ 1+0.1\cdot0.49\right)=f\left(0.1 ;\ 1.049\right)=\\=0.1^2+\dfrac{1}{1+1.049^2}\approx0.486$

$y_2=y_1+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)\approx\\\approx1+\dfrac{0.1}{6}\cdot (0.5+2\cdot0.49+2\cdot0.49+0.486)\approx1.045$

Рассчитываем y_3 :

$k_1=f(x_2;\ y_2)=0.1^2+\dfrac{1}{1+1.045^2}\approx0.488$

$k_2=f\left(0.1+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1.045+\dfrac{0.1\cdot0.488}{2}\right)=f(0.15;\ 1.0694)=\\=0.15^2+\dfrac{1}{1+1.0694^2}\approx0.489$

$k_3=f\left(0.1+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1.045+\dfrac{0.1\cdot0.489}{2}\right)=f(0.15;\ 1.06945=\\=0.15^2+\dfrac{1}{1+1.06945^2}\approx0.489$

$k_4=f\left(0.1+0.1 ;\ 1.045+0.1\cdot0.489\right)=f\left(0.2 ;\ 1.0939\right)=\\=0.2^2+\dfrac{1}{1+1.0939^2}\approx0.495$

$y_3=y_2+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)\approx\\\approx1.045+\dfrac{0.1}{6}\cdot (0.488+2\cdot0.489+2\cdot0.489+0.495)\approx1.094$

Приближенные решения:

$(0;\ 1),\ (0.1;\ 1.045),\ (0.2;\ 1.094)$

martynov20031

Математика

4,4(61 оценок)

это есть вкаком-то учебнике или можешь перефотографировать?

Задай свой вопрос

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.