6. Дан треугольник АВС, ÐВ = 90°, ÐС = 45°, АВ = 6 см. Какое равенство верно?

а) АС = 6 см; в) АС = 12 см;

б) ВС = 12 см; г) ВС = 6 см

Теорема 1  (теорема пифагора). в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть  c2  =  a2  + b2,где c  — гипотенуза треугольника. теорема 2. для прямоугольного треугольника (рис.  1) верны следующие соотношения: a  = c  cos  β = c  sin  α = b  tg  α = b  ctg  β, где c  — гипотенуза треугольника. теорема 3. пусть ca  и cb  — проекции катетов  a  и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h  — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис.  2). тогда справедливы следующие равенства: h2  = ca∙cb,  a2  = c∙ca, b2  = c∙cb. теорема 4  (теорема косинусов). для произвольного треугольника справедлива формулаa2  = b2  + c2  – 2bc  cos  α. теорема 5. около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис.  3). теорема 6  (теорема синусов). для произвольного треугольника (рис.  4) справедливы соотношения теорема 7. во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис.  5).центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника. теорема 8  (формулы для вычисления площади треугольника). 4последняя формула называется формулой герона. теорема 9  (теорема о биссектрисе внутреннего угла). биссектриса внутреннего угла треугольника (рис.  6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то естьb : c = x : y. теорема 10  (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис.  6) . теорема 11  (формула для вычисления длины биссектрисы). теорема 12. медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис.  7). теорема 13  (формула для вычисления длины медианы).  доказательства некоторых теоремдоказательство теоремы 10. построим треугольник abc и проведем в нем биссектрису ad (рис.  8). пусть cd = x и db = y. применим к треугольникам abd и acd теорему косинусов: bd2  = ab2  + ad2  – 2∙ab∙ad∙cos  ∠bad; cd2  = ac2  + ad2  – 2∙ac∙ad∙cos  ∠cad.или, что то же самое, выразим из каждого неравенства  и приравняем полученные результаты: применив теперь к треугольнику abc теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, что отдельно преобразуем выражение cx2  – by2: последнее равенство верно в силу того, что    имеем далее: если c ≠ b, то, сократив обе части равенства на c – b, получим требуемую формулу; если же c = b, то данная теорема сводится к теореме пифагора. доказательство теоремы 11. построим тре­угольник abc и проведем в нем биссектрису ad (см. рис.  8). имеем: с другой стороны, приравнивая полученные двумя способами значения площади треугольника abc, имеем: при этом мы использовали формулу  доказательство теоремы 13. построим треугольник abc и проведем в нем медиану aa1  (см. рис.  7). применим в треугольниках aa1b и aa1c теорему косинусов: или, что то же самое, где ϕ = ∠aa1b. так как cos  (π – ϕ) = –cos  ϕ, сложив последние два равенства, получим: решение 1. в прямоугольном треугольнике abc из вершины прямого угла c проведены биссектриса cl и медиана cm (рис. 9). найти площадь треугольника abc, если lm =  a, cm = b.решение. медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. поэтому am = bm = b,откуда al = b –  a, lb = b +  a. применим к треугольнику abc теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника: применив теперь к треугольнику abc теорему пифагора, получим: откуда а искомая площадь равна  ответ:   2. в треугольнике abc задана точка m на стороне ac, соединенная с вершиной b отрезком mb (рис.  10). известно, что am = 6, mc = 2, ∠abm = 60°, ∠mbc = 30°. найти площадь треугольника abc.решение. применим к треугольникам abm и bcm теорему синусов: так как треугольник abc прямоугольный, то    разделив равенство (1) на равенство (2), с учетом sin  ∠amb = sin  ∠bmc находим, что  откуда ∠acb = 60°.значит, площадь треугольника abc равна  ответ: