Регистрация Спросить otvet5GPT
entogenes
24.02.2022 23:25
Алгебра
Есть ответ 👍

Разложить на множители, выбрать вариант ответа. 7 класс

111
353
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

stepankachan
stepankachan
4,5(8 оценок)

если так хочешь узнать ответ закачай фотомеп решит честно говорю

INKOGNIT009
INKOGNIT009
4,7(11 оценок)

\sqrt{1 - x^{2}} = 4x^{3} - 3x

Первый

Уравнение вида \sqrt{f(x)} = g(x) равносильно системе:

\displaystyle \left \{ {{f(x) = g^{2}(x)} \atop {g(x) \geqslant 0 \ \ \ \ \ \, }} \right.

Тогда имеем:

\displaystyle \left \{ {{1 - x^{2} = (4x^{3} - 3x)^{2}} \atop {4x^{3} - 3x \geqslant 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, }} \right.

Решим неравенство 4x^{3} - 3x \geqslant 0 методом интервалов.

ОДЗ: x \in (-\infty; \ +\infty)

Пересечение с осью абсцисс:

4x^{3} - 3x = 0

x(4x^{2} - 3) = 0

\displaystyle \left [ {{x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {4x^{2} - 3 = 0}} \right. \ \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = 0 \ \ \ \ \ \ \\x_{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\x_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \ \end{array}\right

Тогда решением неравенства будет интервал:

x \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)

Решим уравнение 1 - x^{2} = (4x^{3} - 3x)^{2}

1 - x^{2} = 16x^{6} - 24x^{4} + 9x^{2}

16x^{6} - 24x^{4} + 10x^{2} - 1 = 0

16x^{6} - 8x^{4} - 16x^{4} + 8x^{2} + 2x^{2} - 1 = 0

8x^{4}(2x^{2} - 1) - 8x^{2} (2x^{2} - 1) + (2x^{2} - 1) = 0

(2x^{2} - 1)(8x^{4} - 8x^{2} + 1) = 0

\displaystyle \left [ {{2x^{2} - 1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {8x^{4} - 8x^{2} + 1 = 0}} \right.

Решим уравнение 2x^{2} - 1 = 0

x^{2} = \dfrac{1}{2}

x_{1} = \sqrt{\dfrac{1}{2} } = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \notin \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)

x_{2} = -\sqrt{\dfrac{1}{2} } = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right]

Решим уравнение 8x^{4} - 8x^{2} + 1 = 0

Замена: x^{2} = t, \ t \geqslant 0

8t^{2} - 8t + 1 = 0

D = (-8)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 64 - 32 = 32

t_{1} = \dfrac{-(-8) + \sqrt{32}}{2 \cdot 8} = \dfrac{8 + 4\sqrt{2}}{16} = \dfrac{4(2 + \sqrt{2})}{16} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}

t_{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}

Обратная замена:

1) \ x^{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}

x_{1} = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} } = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \in \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)

x_{2} = -\sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} } = -\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \notin \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)

2) \ x^{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}

x_{1} = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} } = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \notin \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ +\infty \right)

x_{2} = -\sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} } = -\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0 \right]

Получили три решения исходного уравнения:

x_{1} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

x_{2} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

x_{3} = -\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

Второй

Поскольку должно выполнятся условие 1 - x^{2} \geqslant 0, то |x| \leqslant 1

Тогда можно сделать тригонометрическую подстановку: x = \cos \alpha , \ \alpha \in [0; \ \pi]

Тогда данное уравнение можно записать так:

\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha } = 4\cos^{3}\alpha - 3\cos \alpha

\sqrt{\sin^{2} \alpha } = \cos 3\alpha

|\sin \alpha | = \cos 3\alpha

При \alpha \in [0; \ \pi] является правильным неравенство \sin x \geqslant 0

Имеем: \sin \alpha = \cos 3\alpha

\sin \alpha = \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - 3\alpha \right)

\sin \alpha - \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - 3\alpha \right) = 0

2\cos \dfrac{\pi - 4\alpha }{4} \sin \dfrac{8\alpha - \pi}{4} = 0

\displaystyle \left [ {{\cos \dfrac{\pi - 4\alpha}{4} = 0} \atop {{\sin \dfrac{8\alpha - \pi}{4} = 0}} \right.

\displaystyle \left [ {{\dfrac{\pi - 4\alpha }{4} = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}} \atop {\dfrac{8\alpha - \pi}{4} = \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \ \ \ \ \ \ \,}} \right.

\displaystyle \left [ {{\alpha = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}} \atop {\alpha = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \ }} \right.

Из решений совокупности выберем те, которые удовлетворяют условие 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi

Это числа \dfrac{\pi}{8}, \ \dfrac{5\pi}{8} и \dfrac{3\pi}{4}

ответ: \cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ; \ \cos \dfrac{5\pi}{8} = -\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}; \ \cos \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS