Две прямые касаются окружности с центром О в точках А и В и пересекаются в точке С. Найдите угол между этими прямыми, если угол

185

205

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

privetikivsem

Геометрия

4,4(98 оценок)

Яне нашел "школьного" решения, но уж то, что нашел, . пусть начало координат расположено в середине ас, и ось z проходит через точку s, а ось y - через точки с и а. положение точки в составляет суть . я полагаю координаты точки с(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина длины стороны основания). ясно, что sin(α/2) = a/b; где α – искомый угол asc; то есть найдя а, найдется и α; тогда координаты а (0,а,0) s(0,0,√(b^2 - a^2)) для начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка в.сфера, касающаяся плоскости sac, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки с к плоскости x = 0; то есть на прямой ii оси x. уже можно записать формулу (x - b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2; вторая сфера, на которой заведомо лежит точка в - это сфера с центром в точке с и радиусом в 2*а. на этой же сфере лежит точка а. это утверждение означает всего лишь то, что расстояние от в до с равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку в основании пирамиды правильный треугольник. x^2 + (y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2; аналогичное условие можно было бы записать и для точки а, уравнение отличалось бы знаком в слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. но сначала - третья сфера, уравнение которой просто означает, что расстояние от в до s равно b; x^2 + y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2; у нас есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. первое, и самое сильное состоит в том, что заведомо y = 0; совершенно очевидно, что точка в должна лежать на плоскости xz, поскольку она равноудалена от точек а и с. поэтому уравнения (x - b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; x^2 + a^2 + z^2 = (2*a)^2; x^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2; если немного преобразовать, получается x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; или x^2 + z^2 = b*x – a^2; x^2 + z^2 = 3*a^2; x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2 - a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2 - a^2) + a^2 и теперь уже совсем просто – сначала x и z легко выражаются через a; x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a^2) остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2; (4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 – a^2) = 3*a^2; или 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3; с учетом sin(α/2) = a/b; получается 16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3; осталось заметить, что квадраты синуса и косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2 = (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 + cos(α))/2; что приводит к окончательному уравнению 4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где x = cos(α); x = (√13 – 1)/4; ответ α = arccos((√13 – 1)/4);

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.